[논문 리뷰] Positive solutions to some asymptotically linear fractional Schrodinger equations

Jinguo Zhang, Xiaochun Liu|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$, $N>2s$에서 점점 선형에 가까워지는 비선형성을 갖는 분수 슈뢰딩거 방정식의 양해를 존재시키기 위해 변분 방법과 팔라이스-스마일 시퀀스의 새로운 표현을 사용하여 존재성을 확립한다. 주요 기여는 잠재력 $V(x)$와 비선형성 $f(u)$에 대한 적절한 조건 하에서 에너지 함수의 임계점을 증명함으로써, 애머로세티-라빈로비츠 조건이 성립하지 않는다는 점을 감안할 때도 최소한 하나의 양해를 갖는다는 것이다.

ABSTRACT

This paper is devoted to prove the existence and nonexistence of positive solutions for a class of fractional Schrodinger equation in RN of the We apply a new methods to obtain the existence of positive solutions when f(u) is asymptotically linear with respect to u at infinity.

연구 동기 및 목표

• 분수 슈뢰딩거 방정식의 점점 선형적인 비선형성에 대해 $\mathbb{R}^N$에서 양해의 존재성을 확립한다. 여기서 $N>2s$ 이고 $s\in(0,1)$이다.
• 임베딩의 비컴actness 문제와 문제의 비대칭성에 도전한다.
• 보통 변분 방법에서 사용되는 애머로세티-라빈로비츠 조건이 점점 선형 비선형성에서는 성립하지 않기 때문에, 이 조건의 실패를 극복한다.
• 팔라이스-스마일 시퀀스에 대한 새로운 표현 정리(정리)를 개발하여, 유일한 컴팩트니스 장애는 무한대에서의 극한 문제의 해에서 기인함을 규명한다.
• 에너지 함수의 하한이 임계값이 아니며, 추가 조건이 만족될 경우 임계점이 존재함을 증명함으로써, 양해를 확보한다.

제안 방법

• 연구는 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 공간 위에서 변분 방법을 적용하며, 에너지 함수 $\mathcal{I}(u) = \frac{1}{2}\int |(-\Delta)^{s/2}u|^2 dx + \frac{1}{2}\int V(x)|u|^2 dx - \int F(u) dx$ 를 사용한다.
• 팔라이스-스마일 시퀀스에 대한 새로운 표현 정리를 도출하여, 컴팩트니스 장애의 유일한 원인은 무한대에서의 극한 방정식의 해임을 보여준다: $(-\Delta)^s u + V_\infty u = f(u)$.
• 해의 행동 분석과 해의 존재하지 않음에 필요한 조건 유도를 위해 푸아자에 항등식이 적용된다.
• 링킹 정리와 변형 레미마를 함께 사용하여, 조건 $V_5$ 하에서 에너지 함수에 임계점이 존재함을 증명한다.
• 증명은 적절한 변형 수축 $Q = \Gamma(\overline{B}_{\bar{\rho}}(0))$ 와 집합 $S = \{u \in \mathcal{P} : \beta(u) = 0\}$ 의 구성에 기반하며, 이들이 링킹 정리의 의미에서 링킹됨을 보여준다.
• 잠재력 항 $V(x) - V_\infty$ 의 정밀한 추정과 스케일링 기법의 사용을 통해 재정의된 함수의 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점점 선형적인 비선형성을 갖는 분수 슈뢰딩거 방정식이 $\mathbb{R}^N$ 에서 양해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형성이 점점 선형적이고 애머로세티-라빈로비츠 조건이 성립하지 않을 때, $H^s(\mathbb{R}^N)$ 임베딩에서의 비컴팩트니스 문제는 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 무한대에서의 극한 문제는 팔라이스-스마일 시퀀스의 컴팩트니스 장애를 어떻게 차지하는가?
• RQ4 비선형성이 점점 선형적이고 (AR)-조건이 만족되지 않을 경우, 에너지 함수의 하한이 임계값이 될 수 있는가?
• RQ5 잠재력 $V(x)$ 에 대한 기하학적 및 해석적 조건은 무엇이어야 양해의 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 에너지 함수 $\mathcal{I}$ 에 대해 $p = \inf\{\mathcal{I}(u) : u \in \mathcal{P}\}$ 는 임계값이 아니며, 따라서 달성되지 않는다.
• 추가 조건 $(V_5)$ 가 만족될 경우, 즉 $\frac{(N-2s)\|w\|^2_{H^s}}{A\|w\|^2_{L^2}} \leq 2^{2s/N}$ 이며 $A = \max_x \langle \nabla V(x), x \rangle$ 를 만족할 경우, 문제는 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 에서 최소한 하나의 양해를 갖는다.
• 에너지 함수의 임계 수준 $d$ 는 $m_\infty < d < 2m_\infty$ 를 만족하며, 여기서 $m_\infty$ 는 무한대에서의 극한 문제에서의 에너지 하한이다.
• 팔라이스-스마일 조건 $(PS)_d$ 는 구간 $(m_\infty, 2m_\infty)$ 에서 성립하며, 링킹 정리를 통해 임계점의 존재를 보장한다.
• 제시된 조건 하에서 최대원리에 의해 얻어진 해는 양수이다. 이는 $f(t)/t \to 1$ 이며 $t \to \infty$ 일 때, $f(t)/t \to 0$ 이며 $t \to 0^+$ 일 때를 포함한다.
• 분석 결과, 팔라이스-스마일 시퀀스에서의 유일한 컴팩트니스 장애는 무한대에서의 극한 방정식의 비자명한 해의 존재이며, 스케일링과 노름 추정을 통해 엄밀히 제어된다.