[논문 리뷰] Positivity certificates and polynomial optimization on non-compact semialgebraic sets

Ngoc Hoang Anh, Jean B. Lasserre외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 26.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 68인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 임의의 큰 구를 사용하지 않고, Jacobi의 기법을 활용해 Putinar 및 Vasilescu의 양의 증명 증거를 정교화함으로써 비유계 대수기하집합 위에서 다항식 최적화를 위한 새로운 선형계획형 이중화 계층을 제안한다. 이는 유한 수렴과 강한 이중성의 성질을 달성한다. 또한, 다항방정식계를 푸는 수치적 방법과 근사 전역 최적화를 위한 방법을 제시하며, 큰 구 기법에 의존하지 않는다.

ABSTRACT

In a first contribution, we revisit two certificates of positivity on (possibly non-compact) basic semialgebraic sets due to Putinar and Vasilescu [Comptes Rendus de l'Acad\\'emie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(6) (1999) pp. 495-499]. We use Jacobi's technique from [Mathematische Zeitschrift, 237(2) (2001) pp. 259-273] to provide an alternative proof with an effective degree bound on the sums of squares multipliers in such certificates. As a consequence, it allows one to define a hierarchy of semidefinite relaxations for a general polynomial optimization problem. Convergence of this hierarchy to a neighborhood of the optimal value as well as strong duality and analysis are guaranteed. In a second contribution, we introduce a new numerical method for solving systems of polynomial inequalities and equalities with possibly uncountably many solutions. As a bonus, one may apply this method to obtain approximate global optimizers in polynomial optimization.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 대수기하집합에서 큰 구 기법에 의존하지 않는 실용적인 알고리즘 프레임워크를 개발하는 것.
• 유계가 아닌 집합에서 Putinar 유형의 양의 증명 증거에 대한 제곱합 승수의 효과적인 차수 경계를 제공하는 것.
• 전역 최적값으로의 수렴을 보장하고 강한 이중성 하에서 유한 수렴을 가능하게 하는 선형계획형 이중화 계층을 수립하는 것.
• 불가측한 많은 해를 가진 다항방정식 및 부등식계를 해결할 수 있는 수치적 방법을 제안하여 전역 다항식 최적화에 적용하는 것.

제안 방법

• Jacobi의 기법을 활용해 Putinar 및 Vasilescu의 양의 증명 증거를 재검토함으로써 제곱합 승수에 대한 효과적인 차수 경계를 도출한다.
• 유계가 아닌 기본 대수기하집합 위에서 일반적인 다항식 최적화 문제를 위한 모멘트-SOS 선형계획형 이중화 계층을 구축한다.
• 각 수준에서 이전에 계산된 최적값을 제약조건으로 포함시켜 가용영역을 정교화하는 재귀적 SDP 이중화 계획 방식을 구현한다.
• 최적해가 유일할 경우 모멘트 행렬의 평탄한 확장 조건을 강제하여 계층의 유한 수렴을 보장한다.
• 최적해를 등식 제약조건으로 통합하여 다항방정식 및 부등식계를 순차적 정밀화 과정에 통합함으로써 다항방정식계를 해결한다.
• 모든 분모를 동일하게 하여 수치적 안정성과 전역 최소화자로의 수렴을 보장하는 Lasserre의 모멘트-SOS 계층을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 집합에서 Putinar 유형의 양의 증명 증거는 제곱합 승수의 차수 경계를 통해 알고리즘적으로 효과적으로 구현될 수 있는가?
• RQ2 유계가 아닌 가정 없이 전역 최적값으로 유한하게 수렴하는 선형계획형 이중화 계층은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 불가측한 많은 해를 가진 다항방정식계를 해결하고 근사 전역 최적해를 도출할 수 있는 수치적 방법은 무엇인가?
• RQ4 비유계 환경에서 모멘트-SOS 계층의 유한 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 큰 구 기법을 피하면서도 다항식 최적화에서 전역 최적성의 증거를 어떻게 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비유계 집합에서 Putinar 유형의 증명 증거에 대한 제곱합 승수에 대한 효과적인 차수 경계를 확립하여 알고리즘적 구현 가능성을 확보한다.
• 강한 이중성과 유한 수렴 조건 하에서 전역 최적값으로 유한 수렴하는 선형계획형 이중화 계층이 제안된다.
• 최적해가 유일하고 평탄한 확장 조건을 만족할 경우 모멘트-SOS 계층의 유한 수렴이 보장된다.
• 재귀적 SDP 정밀화 과정에서 최적값을 제약조건으로 통합함으로써 근사 전역 최소화자를 계산할 수 있다.
• 제안된 방법은 큰 구 기법을 피하고 사전에 해의 위치를 알 필요 없이 전역 최적성의 증거를 제공한다.
• 최적값 ηₖⁿ = ξₙ 이며 평탄한 확장 조건을 만족하는 SDP 계층의 해는 유일한 전역 최소화자 x*에서 1원자 측도를 갖는다.