[논문 리뷰] Positivity of heights of codimension 2 cycles over function field of characteristic 0

Shou-Wu Zhang|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 26.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 함수체 위의 동치가 없는 고차원 2차원 사이클의 높이 쌍화에 대해 Hodge 지수 추측을 고전적 Hodge 지수 정리로 증명한다. 이러한 사이클의 자기교차수는 비음성임을 보이며, 등호가 성립하는 것은 정확히 그 사이클이 수평 분할의 한 근과 수치적으로 동치일 때에만 성립함을 보여, 이는 Bogomolov 추측과 Faltings 높이 유계화에 관한 이전 연구에서 핵심적인 기술적 요소를 해결한다.

ABSTRACT

In this note, we show how the classical Hodge index theorem implies the Hodge index conjecture of Beilinson for height pairing of homologically trivial codimension two cycles over function field of characteristic 0. Such an index conjecture has been used in our paper on Gross-Schoen cycles to deduce the Bogomolov conjecture and a lower bound for Hodge class (or Faltings height) from some conjectures about metrized graphs which have just been recently proved by Zubeyir Cinkir.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 함수체 위의 동치가 없는 고차원 2차원 사이클의 높이 쌍화에 대해 Hodge 지수 추측을 수립한다.
• 이러한 사이클에 대해 높이 쌍화의 음성 부재를 증명하여 이전 연구의 간극을 메운다.
• 높이 쌍화에서 등호가 성립하는 조건이 정확히 사이클이 수평 분할의 한 근과 수치적으로 동치일 때에만 성립함을 보여준다.
• Néron–Tate 높이 쌍화와 Néron 모델을 사용하여 0차 선다발의 Picard 함수공간에서 기능 ℓ가 0이 됨을 보여준다.
• 고차원 2차원 사이클에 대해 Hodge 지수 추측을 가정할 경우 결과를 양의 특성으로 확장한다.

제안 방법

• k = ℂ로 가정하여 Lefschetz 원리를 적용해 총공간 X 위의 고전적 Hodge 지수 정리로 문제를 축소한다.
• 코homology에서 (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ 이 0이 되는 유리수 계수의 수평 분할 U 를 구성한다.
• Néron–Tate 높이 쌍화와 Néron 모델 위의 보편 Poincaré 번들의 성질을 사용하여 Pic(Xₖ) 위의 기능 ℓ 가 Pic⁰(Xₖ) 위에서 0이 됨을 보여준다.
• Néron 모델의 보편 성질을 적용하여 Abel–Jacobi 사상과 Poincaré 번들을 총공간으로 확장한다.
• 강한 Lefschetz 성질과 분할에 대한 Hodge 추측을 사용하여 1차 사이클 계수 Wₖ 를 유리수 계수의 분할 계수 Uₖ 로 올린다.
• 기능 ℓ(ℳ) = z · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) 가 Pic(X) 전역에서 0이 됨을 보여, 모든 ℳ 에 대해 (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) = 0 이 성립함을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체의 특성이 0인 고차원 2차원 사이클에 대해 높이 쌍화의 Hodge 지수 추측이 성립하는가?
• RQ2 주어진 0 조건을 만족할 때, 자기교차수 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ 의 음성 부재를 확보할 수 있는가?
• RQ3 자기교차수 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ = 0 이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 Néron–Tate 높이 쌍화는 Pic⁰(Xₖ) 위에서 기능 ℓ 의 0화와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 고차원 2차원 사이클에 대해 Hodge 지수 추측을 가정할 경우 결과를 양의 특성으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 두 개의 0 조건을 만족하는 임의의 고차원 2차원 사이클 z 에 대해 자기교차수 z² · c₁(ℒ)ⁿ⁻⁴ 는 음성이다.
• 자기교차수에서 등호가 성립하는 것은 정확히 z 가 수평 분할 U 의 한 근 u 와 수치적으로 동치일 때에만 성립한다.
• 기능 ℓ(ℳ) = z · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) 는 Pic(X) 전역에서 0으로 일관되며, 모든 선다발 ℳ 에 대해 (z − u) · c₁(ℒ)ⁿ⁻³ · c₁(ℳ) = 0 이 성립함을 의미한다.
• 기능 ℓ 는 ℳ 이 NS(Xₖ)ℚ 에서의 상에만 의존하며, 유리수 계수의 1차 사이클 계수 Wₖ 로 표현된다.
• 유리수 계수의 분할 Uₖ 가 존재하여 Wₖ = Uₖ · c₁(ℒₖ)ⁿ⁻³ 모odulo Pic⁰(Xₖ) 를 만족함으로써 필요한 수평 분할 U 를 구성할 수 있다.
• 고차원 2차원 사이클에 대해 Hodge 지수 추측을 가정할 경우 결과는 양의 특성으로 확장된다.