[논문 리뷰] Positivity of Hodge bundles of abelian varieties over some function fields

Xinyi Yuan|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $k$의 함수체 $K = k(t)$ 위의 모든 아벨 다양체가 상수 아벨 다양체와 $ℝ^1_k$ 위에서 허브르 모델의 허브르 번들이 앰플인 다른 아벨 다양체의 곱과 이소지어짐을 증명한다. 이 결과는 테이트-샤파레비치 군에서 $p$-거듭제곱 토크션의 유한성, 완전 폐쇄 위에서 유리점의 유한 생성성, 그리고 표면에 대한 테이트 추측을 $H^1(\mathcal{O})$가 자명한 특수한 경우로의 축소를 암시한다. 증명은 $\mathbb{P}^1_k$ 위에서의 새로운 몫 구조와 기하 기법에 기반한다. 주요 기여는 이소지어짐 이후 허브르 번지의 양성으로, 양의 특성에서 산술적 응용이 가능하게 한다.

ABSTRACT

The main result of this paper concerns the positivity of the Hodge bundles of abelian varieties over global function fields. As applications, we obtain some partial results on the Tate--Shafarevich group and the Tate conjecture of surfaces over finite fields.

연구 동기 및 목표

• 곡선의 함수체 위의 아벨 다양체에 대해 양의 특성에서 허브르 번지의 양성을 확립하는 것.
• 모든 아벨 다양체가 $K = k(t)$ 위에서 상수 아벨 다양체와 $ℝ^1_k$ 위에서 허브르 번지가 앰플인 다른 아벨 다양체의 곱과 이소지어짐을 증명하는 것.
• 이 결과를 적용하여 테이트-샤파레비치 군에서 $p$-거듭제곱 토크션의 유한성과 $A(K^{\rm per})$의 유한 생성성을 도출하는 것.
• 유한체 위의 모든 프로젝티브 스킴 표면에 대한 테이트 추측을 $H^1(\mathcal{O}_X) = 0$인 경우로 축소하는 것.
• BSD 추측과 테이트 추측을 연결하기 위해 $H^1(\mathcal{O})$가 자명한 표면을 구성하는 기하적 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• Rössler의 작업을 영감으로 삼아 $p$-나누어지는 군의 몫 구조를 사용하여 허브르 번지의 비앰플 부분을 분리한다.
• Birkhoff–Grothendieck 정리를 활용하여 $ℝ^1_k$ 위의 벡터 번들을 분해하고, 앰플리티를 분해에서 가장 작은 차수의 양성으로 환원한다.
• 이중 아벨 다양체 $A^\vee$의 프로젝티브 정칙 모델 $\mathcal{P}$를 $ℝ^1_k$ 위에 구성하여 코homological 성질을 분석한다.
• Leray 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 $R^1\psi_*\mathcal{O}_\mathcal{P}$의 쌍대가 앰플리이므로 $H^1(\mathcal{P}, \mathcal{O}_\mathcal{P}) = 0$임을 보인다.
• Poonen의 버티니 유형 정리를 사용하여 $H^1(\mathcal{Y}, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) = 0$이면서 일반 성분의 코homology 사상이 단사인 매끄러운 표면 $\mathcal{Y} \subset \mathcal{P}$를 구성한다.
• 유한 핵을 가진다 하여 $\mathcal{Y}_\eta$의 아벨 다양체와 원래 아벨 다양체를 연결함으로써 BSD 추측과 테이트 추측의 축소를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 $K = k(t)$ 위의 아벨 다양체에 대해, 이소지어진 다양체로의 전환을 통해 허브르 번지가 앰플리가 될 수 있는가?
• RQ2 유한체 위의 $ℝ^1_k$에서 준아벨 다양체로의 축소를 갖는 아벨 다양체에 대해, 테이트-샤파레비치 군에서 $p$-거듭제곱 토크션의 유한성은 성립하는가?
• RQ3 함수체 $K = k(t)$ 위에서 아벨 다양체에 대해 Mordell–Lang 추측은 허브르 번지의 앰플리티에 의해 암시되는가?
• RQ4 모든 유한체 위의 프로젝티브 스킴 표면에 대한 테이트 추측은 $H^1(\mathcal{O}_X) = 0$인 경우로 축소될 수 있는가?
• RQ5 정칙 모델 $\mathcal{P}$에 대해 $A^\vee$의 $H^1(\mathcal{O}_\mathcal{P}) = 0$이 성립하는 기하적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 아벨 다양체 $A$는 $K = k(t)$ 위에서 $B \times_K C_K$와 이소지어짐을 가지며, 여기서 $C$는 $k$ 위의 아벨 다양체이고, $B$의 허브르 번지는 $ℝ^1_k$ 위에서 앰플리하다.
• 준아벨 다양체로의 축소를 갖는 아벨 다양체에 대해 $A(K^{\rm per})$는 유한 생성된다. 이는 전체 Mordell–Lang 추측의 한 경우를 확인한다.
• 준아벨 다양체로의 축소를 갖는 조건에서, 테이트-샤파레비치 군의 부분군 $\operatorname{X}(A)[F^\infty]$는 유한하다.
• 모든 유한체 위의 프로젝티브 스킴 표면에 대한 테이트 추측은 $H^1(\mathcal{O}_X) = 0$인 표면에 대해 성립할 경우에 한하여 성립한다.
• 허브르 번지 $\overline{\Omega}_A$는 $ℝ^1_k$ 위에서 네프이며, 이소지어짐을 통해 등방성 부분을 제거함으로써 앰플리티가 성립한다.
• Poonen의 버티니 정리를 통해 양의 조밀도로 $H^1(\mathcal{Y}, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) = 0$인 매끄러운 표면 $\mathcal{Y} \subset \mathcal{P}$를 구성할 수 있으며, 이는 코homological 축소를 가능하게 한다.