[논문 리뷰] Positivity of holomorphic vector bundles in terms of $L^p$-conditions of $\bar\partial$

Fusheng Deng, Jiafu Ning외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 06.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $L^p$-추정과 $\bar\partial$-방정식의 $L^p$-확장을 통해 헤르미트 복소 다발에 대한 나카노 및 그리피스 긍정성의 특성화를 수립한다. 최적 및 다중 거친 $L^p$-추정 및 확장 조건을 포함한 네 가지 새로운 조건을 도입하여, 나카노 긍정성이 최적 $L^2$-추정 조건과 동치임을 보이고, $p>1$ 또는 $p>0$일 때 그리피스 긍정성이 나머지 세 조건 중 어느 하나로부터도 유도됨을 보여준다. 이러한 결과는 헤르망더의 $L^2$-추정 및 오사와-타케구치 확장 정리에 대한 역정리들을 제공한다.

ABSTRACT

We study the positivity properties of Hermitian (or even Finsler) holomorphic vector bundles in terms of $L^p$-estimates of $\bar\partial$ and $L^p$-extensions of holomorphic objects. To this end, we introduce four conditions, called the optimal $L^p$-estimate condition, the multiple coarse $L^p$-estimate condition, the optimal $L^p$-extension condition, and the multiple coarse $L^p$-extension condition, for a Hermitian (or Finsler) vector bundle $(E,h)$. The main result of the present paper is to give a characterization of the Nakano positivity of $(E,h)$ via the optimal $L^2$-estimate condition. We also show that $(E,h)$ is Griffiths positive if it satisfies the multiple coarse $L^p$-estimate condition for some $p>1$, the optimal $L^p$-extension condition, or the multiple coarse $L^p$-extension condition for some $p>0$. These results can be roughly viewed as converses of Hörmander's $L^2$-estimate of $\bar\partial$ and Ohsawa-Takegoshi type extension theorems. As an application of the main result, we get a totally different method to Nakano positivity of direct image sheaves of twisted relative canonical bundles associated to holomorphic families of complex manifolds.

연구 동기 및 목표

• 헤르미트 복소 다발의 긍정성 성질을 특성화하는 $\bar\partial$-추정 및 $L^p$-확장에 대한 $L^p$-조건을 수립하기 위해.
• 긍정성과 $\bar\partial$-해의 가역성 및 성장 조건을 연결함으로써 헤르망더의 $L^2$-추정 및 오사와-타케구치 확장 정리에 대한 역정리들을 제공하기 위해.
• 이러한 특성화를 날카로운 상대 캐논리컬 다발의 직접 이미지 층에 적용하여, $L^2$-추정을 통해 나카노 긍정성을 증명하기 위해.
• 이러한 프레임워크를 특이한 편도 메트릭 및 무한차원 다발로 확장하여, 복소기하학 및 모듈리 이론에의 적용 범위를 넓히기 위해.

제안 방법

• 최적 $L^p$-추정 조건을 도입: $\bar\partial f = 0$이면, $L^p$-노름이 $\langle B_{A,h_A}^{-1}f,f \rangle^{p/2}$에 의해 유계인 $\bar\partial u = f$의 해 $u$가 존재함을 의미한다.
• 성장 조절 조건 $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$을 갖는 다중 거친 $L^p$-추정 조건을 정의하여, 텐서 거듭제곱 $E^{\otimes m}$에 대해 균일한 유계성을 확보한다.
• 최적 $L^p$-확장 조건을 도입: 임의의 $z$와 단위 벡터 $a \in E_z$에 대해, $f(z) = a$를 만족하고 $L^p$-노름 $\leq 1$인 헬름하르트 섹션 $f$가 헬름하르트 실린더 위에 존재함을 의미한다.
• 다중 거친 $L^p$-확장 조건을 정의: 각 $m$에 대해, $f_m \in H^0(D, E^{\otimes m})$가 존재하여 $f_m(z) = a^{\otimes m}$이고 $\int_D |f_m|^p \leq C_m$를 만족하며, $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$임을 의미한다.
• 카일러 다양체 위에서 $\bar\partial$의 $L^2$-이론과 곡률 연산자 $B_{A,h_A} = [i\Theta_{A,h_A} \otimes \mathrm{id}_E, \Lambda_\omega]$를 사용하여 곡률와 $L^p$-유계성 간의 관계를 규명한다.
• 카일러 메트릭 변화에 대해 역곡률 연산자 $[i\Theta, \Lambda_{\omega_1}]^{-1}$의 불변성을 증명하여, 다양한 메트릭 간의 $L^p$-추정의 일관성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤르미트 복소 다발의 나카노 긍정성은 $\bar\partial$에 대한 $L^2$-추정 조건으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 $\bar\partial u = f$에 대한 $L^p$-해가 균일한 성장 조절 조건을 만족하면 그로 인해 그리피스 긍정성이 유도되는가?
• RQ3 $p>0$에 대해 최적 $L^p$-확장 조건이 그로 인해 그리피스 긍정성을 유도하는가?
• RQ4 $p>1$ 또는 $p>0$에 대해 다중 거친 $L^p$-확장 조건들이 그로 인해 그리피스 긍정성의 동치 특성화를 제공하는가?
• RQ5 이러한 $L^p$-조건들이 날카로운 상대 캐논리컬 다발의 직접 이미지 층의 긍정성 증명에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 헤르미트 복소 다발 $(E,h)$의 나카노 긍정성은 최적 $L^2$-추정 조건과 동치이다. 즉, 모든 $f \in C_c^\infty(X, \wedge^{n,1}T^*_X \otimes E \otimes A)$에 대해 $\bar\partial f = 0$이면, $\bar\partial u = f$를 만족하고 $\int_X |u|^2_{h \otimes h_A} dV_\omega \leq \int_X \langle B_{A,h_A}^{-1}f,f \rangle^{1} dV_\omega$를 만족하는 $u \in L^2(X, \wedge^{n,0}T_X^* \otimes E \otimes A)$가 존재한다.
• 다른 $p>1$에 대해 다중 거친 $L^p$-추정 조건을 만족하면, $(E,h)$는 그리피스 긍정성을 가진다. 이때 상수 $C_m$은 $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$을 만족한다.
• 모든 $p>0$에 대해 최적 $L^p$-확장 조건이 성립하면, 그로 인해 그리피스 긍정성이 유도된다. 이때 각 $z$와 단위 $a \in E_z$에 대해, $f(z) = a$를 만족하고 $\frac{1}{\mu(P)}\int_{z+P} |f|^p \leq 1$를 만족하는 헬름하르트 섹션 $f$가 헬름하르트 실린더 위에 존재한다.
• 다중 거친 $L^p$-확장 조건이 어떤 $p>0$에 대해 성립하면, 그로 인해 그리피스 긍정성이 유도된다. 이때 $f_m \in H^0(D, E^{\otimes m})$, $f_m(z) = a^{\otimes m}$이며 $\int_D |f_m|^p \leq C_m$를 만족하며, $\frac{1}{m}\log C_m \to 0$이다.
• 최적 $L^2$-추정 조건은 $E$가 나카노 준긍정적 곡률를 지닐 때, $\pi_*(K_{X/Y} \otimes E)$의 직접 이미지 층에 대한 나카노 긍정성을 유도한다. 이는 섬유 위에서의 $L^2$-추정을 통해 유도된다.
• 직접 이미지 층의 메트릭은 심지어 피브레이션이 매끄럽지 않더라도, $L^p$-확장 및 추정 조건을 사용하여 전체 기저 위로 긍정적인 곡률를 지닌 특이 메트릭으로 확장될 수 있다.