[논문 리뷰] Positivity of relative canonical bundles for families of canonically polarized manifolds

Georg Schumacher|arXiv (Cornell University)|2008. 08. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 42인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 캐논리컬리로 극화된 다양체의 가속에서 Kähler-Einstein 계량을 통해 유도된 상대 캐논리컬 번들의 헤르미트 계량의 엄격한 양성을 확립한다. 이를 통해 상대 캐논리컬 번들의 유도된 헤르미트 계량이 엄격히 양성임을 증명한다. 또한 일반화된 Weil-Petersson 형식이 양성 현재로 확장되며, 행렬식 선다발이 콪actification으로 확장됨을 보여, 캐논리컬리로 극화된 다양체의 모듈리 공간의 준프로젝티브성을 짧은 증명으로 이끌어낸다.

ABSTRACT

Given an effectively parameterized family of canonically polarized manifolds the Kaehler-Einstein metrics on the fibers induce a hermitian metric on the relative canonical bundle. We use a global elliptic equation to show that this metric is strictly positive. For degenerating families we obtain a singular hermitian metric. Main application is an analytic proof of the quasi-projectivity of the moduli space of canonically polarized manifolds. Further applications in arXiv:1002.4858v2.

연구 동기 및 목표

• 가속에서 캐논리컬리로 극화된 다양체의 섬유 위에 정의된 Kähler-Einstein 계량에 의해 유도된 상대 캐논리컬 번들의 헤르미트 계량의 엄격한 양성을 확립하는 것.
• 이 계량의 곡률 형식이 파손되는 가속에서도 콤팩트화된 전체 공간으로 양성이고 닫힌 현재로 확장됨을 보이는 것.
• 기저 공간에서의 일반화된 Weil-Petersson 형식이 모듈리 공간의 콤팩트화로 양성 현재로 확장됨을 보여, 모듈리 공간 위에 양성 선다발을 구성할 수 있음을 보이는 것.
• 행렬식 선다발과 Quillen 계량의 확장을 통해 캐논리컬리로 극화된 다양체의 모듈리 공간의 준프로젝티브성을 증명하는 것.
• 곡률 확장과 Weil-Petersson 현재의 양성성을 이용한 새로운 짧은 증명을 통해 모듈리 공간의 준프로젝티브성을 제공하는 것.

제안 방법

• 지점별 조화 Kodaira-Spencer 형식의 노름과 상대 캐논리컬 번들의 곡률 사이의 전역 타원형 방정식을 사용한다.
• Yau의 C⁰-추정을 적용하여 파손되는 가속에서 Kähler-Einstein 계량의 행동을 제어한다.
• 양성 현재를 가진 헤르미트 선다발에 대한 확장 정리를 활용하여 행렬식 선다발이 콤팩트화로 확장됨을 허용한다.
• 섬유 통합을 사용하여 상대 캐논리컬 번들의 곡률을 기저 공간의 일반화된 Weil-Petersson 형식과 연결한다.
• 양성 현재에 대한 Siu의 분해 정리를 적용하여 Weil-Petersson 형식이 콤팩트화된 모듈리 공간의 특이점에서 확장됨을 보인다.
• 행렬식 선다발 위의 Quillen 계량을 사용하고, 그 곡률 형식이 상대 캐논리컬 번들의 첫 번째 체르니클 클래스를 섬유 통합한 것과 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kähler-Einstein 계량이 섬유 위에 정의된 상대 캐논리컬 번들의 헤르미트 계량이 엄격히 양성인가?
• RQ2 이 계량의 곡률 형식이 파손되는 가속에서도 콤팩트화된 전체 공간으로 양성 현재로 확장될 수 있는가?
• RQ3 기저 공간에서의 일반화된 Weil-Petersson 형식이 모듈리 공간의 콤팩트화로 양성 현재로 확장되는가?
• RQ4 상대 캐논리컬 번들과 관련된 행렬식 선다발이 모듈리 공간의 콤팩트화로 확장될 수 있는가?
• RQ5 Weil-Petersson 현재의 양성과 선다발의 확장이 캐논리컬리로 극화된 다양체의 모듈리 공간의 준프로젝티브성을 암시하는가?

주요 결과

• Kähler-Einstein 계량이 섬유 위에 정의된 상대 캐논리컬 번들 ${\mathcal{K}}_{{\mathcal{X}}/S}$ 위의 헤르미트 계량은 엄격히 양성이다.
• 이 계량의 곡률 형식은 최소한의 해석적 특이성을 가진 콤팩트화된 전체 공간 $\overline{{\mathcal{X}}}$로 양성이고 닫힌 현재로 확장된다.
• 기저 $S$에서의 일반화된 Weil-Petersson 형식은 콤팩트화된 모듈리 공간으로 양성이고 닫힌 현재로 확장된다.
• 상대 캐논리컬 번들과 관련된 행렬식 선다발은 최소한의 해석적 특이성을 가진 양성 헤르미트 계량을 지닌 콤팩트화된 모듈리 공간으로 확장된다.
• 캐논리컬리로 극화된 다양체의 모듈리 공간 ${\mathcal{M}}_{\text{can}}$의 준프로젝티브성은 Weil-Petersson 현재와 행렬식 선다발의 양성 및 확장 성질로부터 유도된다.
• 콤팩트 곡선 위에서 캐논리컬리로 극화된 표면의 가속에 대해, 비등방성은 $g(C) > 1$ 또는 적어도 하나의 특이 섬유의 존재를 암시한다. 이는 곡률 추정과 Gauss-Bonnet 정리에 의해 보여진다.