[논문 리뷰] Positivity-preserving and entropy-bounded discontinuous Galerkin method for the chemically reacting, compressible Euler equations. Part II: The multidimensional case

Eric J. Ching, Ryan F. Johnson외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 29.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차수, 다차원 비연속 갈레르킨 방법을 화학 반응이 일어나는 압축성 유동에 적용하여 밀도, 압력, 성분 농도의 양성과 엔트로피의 하한을 선형 스케일링 리미터를 사용해 강제로 유지한다. 이 방법은 질량, 총 에너지, 원자 성분의 이산적 보존을 유지하며, 곡선 요소 간의 압력 평형을 유지하고, 비교적 굵은 메쉬에서 고차수 다항식을 사용하여 2D 및 3D에서 복잡한 폭발파를 안정적이고 정확하게 시뮬레이션할 수 있다. 이는 엔트로피의 하한 제약이 양성 조건만으로는 부족하며 안정성 확보에 필수적임을 보여준다.

ABSTRACT

In this second part of our two-part paper, we extend to multiple spatial dimensions the one-dimensional, fully conservative, positivity-preserving, and entropy-bounded discontinuous Galerkin scheme developed in the first part for the chemically reacting Euler equations. Our primary objective is to enable robust and accurate solutions to complex reacting-flow problems using the high-order discontinuous Galerkin method without requiring extremely high resolution. Variable thermodynamics and detailed chemistry are considered. Our multidimensional framework can be regarded as a further generalization of similar positivity-preserving and/or entropy-bounded discontinuous Galerkin schemes in the literature. In particular, the proposed formulation is compatible with curved elements of arbitrary shape, a variety of numerical flux functions, general quadrature rules with positive weights, and mixtures of thermally perfect gases. Preservation of pressure equilibrium between adjacent elements, especially crucial in simulations of multicomponent flows, is discussed. Complex detonation waves in two and three dimensions are accurately computed using high-order polynomials. Enforcement of an entropy bound, as opposed to solely the positivity property, is found to significantly improve stability. Mass, total energy, and atomic elements are shown to be discretely conserved.

연구 동기 및 목표

• 일차원에서의 양성 보존 및 엔트로피 제약 DG 스킴을 화학 반응이 일어나는 유동에 대해 다차원으로 확장하기.
• 과도한 해상도가 필요 없이 비교적 굵은 메쉬에서 복잡한 반응 유동에 대한 강력한 고차수 시뮬레이션을 가능하게 하기.
• 특히 물질 인터페이스를 가로질러 다차원 곡선 메쉬 환경에서 요소 간 압력 평형을 유지하기.
• 세부 화학 및 열역학 모델이 존재하는 상황에서도 질량, 총 에너지, 원자 성분의 이산적 보존을 유지하기.
• 반응 단계에서 비선형 솔버의 안정성에 있어 엔트로피 제약의 핵심적 역할을 입증하기.

제안 방법

• 임의의 형상과 고차수 기하 근사치를 사용하여 다차원 곡선 요소로 완전히 보존적인 DG 수식을 확장한다.
• 선형 스케일링 리미터를 통해 성분 농도의 음이 아닌 값, 양성 밀도, 양성 압력, 그리고 특정 열역학적 엔트로피의 하한을 강제로 유지한다.
• 양의 가중치를 갖는 일반적인 구적 규칙, 임의의 수치적 플럭스 함수, 열적으로 완전한 기체 혼합물과의 호환성을 확보한다.
• 열역학 상태의 일관된 평가 및 노드 기저 선택을 통해 압력 평형을 유지하며, 일차원에서의 이전 작업을 확장한다.
• 엔트로피 및 양성 제약로 제거되지 않는 소규모 불안정성을 억제하기 위해 인공 점성을 적용한다.
• 반응 단계는 강한 화학 소스 항을 다루기 위해 대각형 노름의 부분합 계산 기반 DG 수식을 사용하는 연산자 분할 접근법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 DG 방법은 화학 반응이 일어나는 유동에서 밀도, 압력, 성분 농도의 양성과 엔트로피의 하한을 유지할 수 있는가?
• RQ2 임의의 기하 근사 차수를 갖는 곡선 다차원 요소 간에 어떻게 압력 평형을 유지할 수 있는가?
• RQ3 고차수 반응 유동 시뮬레이션에서 비선형 솔버의 안정성과 수렴성에 대해 엔트로피 제약과 양성 조건만의 영향은 어떠한가?
• RQ4 이 수식을 사용하여 비교적 굵은 메쉬에서 고차수 다항식을 사용해 강력하고 정확한 폭발파 시뮬레이션을 달성할 수 있는가?
• RQ5 기존의 양성 보존 또는 엔트로피 제약 DG 스킴과 비교해 본다면, 제안된 방법은 유연성과 강력성 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 제안된 방법은 다항식 차수에 관계없이 여러 차수에서 2D 열기포 이동 시험에서 곡선 요소 간의 압력 및 속도 평형을 성공적으로 유지하였다.
• 2D 및 3D 폭발파 시뮬레이션에서, 이전 방법이 선형 다항식과 매우 미세한 메쉬가 필요로 했던 것에 비해, 본 방법은 p=2까지의 다항식 차수를 사용하여 굵은 메쉬에서도 안정적이고 정확한 해를 달성하였다.
• 엔트로피 하한 제약의 강제 적용은 솔버 수렴에 필수적이었으며, 이를 생략할 경우 큰 온도 과도감으로 인해 비선형 솔버가 멈추거나 크게 느려지는 것으로 나타났다.
• 부드러운 유동에서 최적의 고차수 수렴성을 보였으며, 이는 시험의 정확성을 확인한다.
• 모든 시험 케이스에서 질량, 총 에너지, 원자 성분이 기계 정밀도 수준에서 보존되었으며, 이는 수식의 이산 보존 성질을 확인한다.
• 3D 폭발파 시뮬레이션은 대칭적이고, 동시에 발생하는 직사각형 모드의 구조를 보였으며, 삼중점 선 충돌과 타격파 예측이 정확하여 물리적 신뢰성을 확인하였다.