[논문 리뷰] Possible connections between whiskered categories and groupoids, many object Leibniz algebras, automorphism structures and local-to-global questions

Ronald Brown|arXiv (Cornell University)|2007. 08. 13.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 추가적인 구조를 갖춘 카테고리인 '털다리가 달린 카테고리'(whiskered categories)와 군oids를 도입하여, 가군 카테고리와 군oids와 같은 다수의 대상을 가진 설정으로 교환자 이론과 리 괄호 유사 구조를 확장한다. 이론적 구조들을 입방체 프레임워크에 통합함으로써, 비-라이프니츠 교환자 이론을 수립하여 대수적 및 호모토피론적 응용이 가능하게 하며, 이는 교차 복합체, 2-교차 모듈, 그리고 모노이드의 잠재적 분해와 연결된다.

ABSTRACT

We define the notion of whiskered categories and groupoids, showing that whiskered groupoids have a commutator theory. So also do whiskered $R$-categories, thus answering questions of what might be `commutative versions' of these theories. We relate these ideas to the theory of Leibniz algebras, but the commutator theory here does not satisfy the Leibniz identity. We also discuss potential applications and extensions, for example to resolutions of monoids.

연구 동기 및 목표

• 카테고리와 군oids, 특히 가군 또는 다수의 대상이 있는 설정에서 일관된 교환자 이론이나 리 괄호 이론이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 털다리가 달린 카테고리와 군oids에서 대수적 및 호모토피론적 추론을 지원하는 일반화된 교환자 구조를 정의하기 위해.
• 털다리가 달린 구조, 라이프니츠 대수, 자동형군 간의 관계를 탐색하며, 특히 교차 복합체의 맥락에서 고려하기 위해.
• 입방체 고차원 구조가 대수적 위상수학과 호모토피 이론에서 국소-전역 현상 모델링에 어떻게 기여하는지 탐구하기 위해.
• 교차 미분 대수의 범주에서 코프리프레젠테이션을 사용하여 모노이드를 분해하는 프레임워크를 제안하기 위해.

제안 방법

• 교환자 연산을 지원하기 위해 추가 구조를 부여한 '털다리가 달린 카테고리'의 개념을 도입한다.
• 입방체 범주 $I^n$ 에서의 함자들을 사용하여 카테고리 내에서 사각형과 입방체를 정의함으로써 고차원 합성과 대수적 조작을 가능하게 한다.
• 군oids에서는 $\delta f$ 연산자와 가군 카테고리에서는 $\Delta f$ 연산자를 도입하여 교환자 유사 행동을 포착한다.
• 수평 및 수직 합성에 대한 $\delta$ 및 $\Delta$ 연산자의 변환 규칙을 수립하여 이중 카테고리 구조와의 호환성을 보여준다.
• 입방체 프레임워크를 교차 복합체와 2-교차 모듈에 적용하여 이론이 호모토피 이론과 비아벨 코hom로지와 연결됨을 보여준다.
• 연결을 가진 입방체 $\omega$-군oids를 자동형 구조와 고차 호모토피 이론의 자연스러운 설정으로 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군oids와 카테고리에 대해 교환자 이론을 어떻게 정의할 수 있으며, 특히 자연스러운 리 괄호가 없는 경우에 어떻게 할 것인가?
• RQ2 털다리가 달린 카테고리와 군oids에서 유도되는 대수적 및 호모토피론적 구조는 무엇이며, 이는 라이프니츠 대수와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 입방체 고차원 구조는 대수적 위상수학에서 국소-전역 성질 연구에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 털다리가 달린 군oids와 그 자동형 구조는 코프리프레젠테이션을 통해 모노이드의 분해를 모델링하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 2-교차 모듈과 호몰로지(holonomy)는 고차 카테고리에서 국소적 교환 법칙이 성립하지 않는 현상을 어떻게 포착하는가?

주요 결과

• 털다리가 달린 군oids는 $\delta$-연산자를 통해 잘 정의된 교환자 이론을 갖추며, 합성에 대해 변환 규칙을 만족한다.
• 가군 카테고리에서의 $\Delta$-연산자는 라이프니츠 항등식을 요구하지 않지만, 덧셈 및 합성 구조를 유지하는 비-라이프니츠 괄호를 제공한다.
• 입방체 프레임워크는 고차원 교환자에 대한 자연스러운 기술을 가능하게 하며, 이중 및 삼중 카테고리의 구성에 기여한다.
• 털다리가 달린 $R$-카테고리에서는 라이프니츠 항등식을 요구하지 않지만 입방체 합성과 호환되는 리 괄호 유사 구조를 지닌다.
• 이론은 모노이드를 그의 자명한 확장과 약한 동치인 코프리프레젠테이션을 갖는 교차 미분 대수로 대체함으로써 모노이드 분해의 길을 열어준다.
• 연결을 가진 입방체 $\omega$-군oids는 자동형 이론을 위한 모노이드 닫힘 설정을 일반화하며, 구형 $\infty$-군oids의 역할을 일반화한다.