[논문 리뷰] Possible indices for the Galois image of elliptic curves over Q

David Zywina|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℚ 위의 비-CM 타원곡선에 대해 GL₂(Ẑ) 내의 갈루아 이미지의 유한한 지표를 분류하며, mod ℓ 전수성에 대한 추측을 가정할 경우 지표는 정확히 28개의 정수로 이루어진 유한 집합 𝒟에 속해야 한다. 추측을 가정할 경우 지표는 유한하고, 오직 j-불변량에 의존하며, 유한한 수의 예외적 j-불변량만 제외된다.

ABSTRACT

For a non-CM elliptic curve $E$ over the rationals, the Galois action on its torsion points can be expressed in terms of a Galois representation $ρ_E : G o GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$, where $G$ is the absolute Galois group of the rationals. A well-known theorem of Serre says that the image of $ρ_E$ is open and hence has finite index in $GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$. We will study what indices are possible assuming that we are willing to exclude a finite number of possible $j$-invariants from consideration. For example, we will show that there is a finite set $J$ of rational numbers such that if $E/\mathbb{Q}$ is a non-CM elliptic curve with $j$-invariant not in $ J$ and with surjective mod $\ell$ representations for all $\ell >37$ (which conjecturally always holds), then the index $[GL_2(\hat{\mathbb{Z}}) : ρ_E(G)]$ lies in the set \[ I:= \left\{\begin{array}{c}2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 54, 60, 72, 84, 96, 108, 112,120, 144, \\192, 220, 240, 288, 336, 360, 384, 504, 576, 768, 864, 1152, 1200, 1296, 1536 \end{array} ight\}. \] Moreover, $I$ is the minimal set with this property.

연구 동기 및 목표

• 비-CM 타원곡선 E에 대해 ℚ 위에서 [GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)]의 유한한 지표 집합을 결정하는 것.
• 어느 지표가 최소한의 유한 집합 외부에 있는 예외적인 지표를 갖는 j-불변량을 식별하는 것.
• mod ℓ 전수성에 대한 추측 하에 지표가 오직 j-불변량에 의존함을 보이는 것.
• 모든 지표가 무한히 자주 발생하는 지표 집합이 정확히 𝒟임을 보여 최소성 증명하는 것.

제안 방법

• Serre의 열린 이미지 정리로 갈루아 표현 ρ_E : Gal_ℚ → GL₂(Ẑ)의 이미지를 분석한다.
• ρ_E,ℓ 가 모든 소수 ℓ > 37에 대해 전수임을 가정하는 추측을 적용하여, 이미지가 열려 있고 유한 지수를 가짐을 암시한다.
• 지표 분류 문제를 갈루아 이미지 군과 관련된 임의의 부등호 군과 모듈러 곡선 X_G(N)의 연구로 환원한다.
• 성분 수가 ≥2인 곡선의 유리점에 대한 Faltings의 정리를 적용하여 예외적 j-불변량의 유한성을 보인다.
• p-진 자리에서의 국소 분석과 Tate 곡선 이론을 활용하여 큰 ℓ에 대해 mod ℓ 전수성을 증명한다.
• 밀도 추론과 얇은 집합 이론을 적용하여, 주어진 지수를 갖는 j-불변량의 집합이 무한한지 여부가 지수 n이 집합 𝒟에 속하는지 여부에 따라 결정됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-CM 타원곡선에 대해 ℚ 위에서 토크션 점에 대한 갈루아 표현 이미지의 가능한 유한 지표는 무엇인가?
• RQ2 모든 비-CM 타원곡선에 대해 [GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)]의 지표가 ℚ 전반에 걸쳐 균일하게 유계일 수 있는가?
• RQ3 어느 j-불변량이 최소한의 유한 집합 외부의 지표를 갖는가? 그리고 그러한 예외적 j-불변량은 얼마나 많은가?
• RQ4 무한히 자주 발생하는 지표 집합이 정확히 𝒟 = {2,4,6,...,1536}인가?
• RQ5 큰 ℓ에 대해 mod ℓ 전수성 추측을 가정할 경우, 지표는 오직 타원곡선 E의 j-불변량으로만 결정될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비-CM 타원곡선 E에 대해 ℚ 위에서 j-불변량이 유한한 예외 집합 J에 속하지 않는 한, 지표 [GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)]는 유한 집합 𝒟 = {2,4,6,8,10,12,16,20,24,30,32,36,40,48,54,60,72,84,96,108,112,120,144,192,220,240,288,336,360,384,504,576,768,864,1152,1200,1296,1536}에 속한다.
• 집합 𝒟는 최소성이다: 𝒟에 속하지 않는 모든 지수 n에 대해, [GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)] = n 인 j-불변량 j_E의 집합은 유한하다.
• 지수 n ∈ 𝒟에 대해, 해당 지수를 갖는 j-불변량 j_E의 집합은 무한하므로, 𝒟는 무한히 자주 발생하는 모든 가능한 지표를 포함한다.
• 예외 집합 J는 최소한 13개의 CM j-불변량과 함께 −7·11³ 및 −7·137³·2083³ 등의 비-CM j-불변량을 포함하며, 이들은 지수 ≥2736을 갖는다.
• ρ_E,ℓ 가 모든 소수 ℓ > 37에 대해 전수일 경우, 지표는 오직 j_E의 j-불변량에 의해 완전히 결정된다.
• 집합 𝒟의 구성은 Faltings의 정리에 기반한 비효율적 상한에 의존하므로, 예외 집합 J는 명시적으로 계산하기에는 비효율적이다.