[논문 리뷰] Post-Critically Finite Maps on $\mathbb{P}^n$ for $n\ge2$ are Sparse

Patrick Ingram, Rohini Ramadas외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ n \geq 2 $ 이고 degree $ d \geq 3 $ 인 경우, $ \mathbb{P}^n $ 상의 후행적으로 비한정적(PCF) 맵 중 꼬리 길이가 2 이하인 경우가 매개수 공간 $ \operatorname{End}_d^n $ 에서 흩어져 있음을 증명한다. 즉, 그들은 적절한 제로지 닫힌 부분집합에 속해 있다. 이 결과는 이러한 맵들이 제로지 밀도가 아니라는 것을 보여주며, 1차원의 경우와는 뚜렷이 대비된다. 1차원의 경우 PCF 맵은 밀도가 높은 반면, 고차원에서는 그렇지 않다. 이는 고차원에서의 동역학적 행동에 근본적인 차이를 보인다.

ABSTRACT

Let $f:{\mathbb P}^n o{\mathbb P}^n$ be a morphism of degree $d\ge2$. The map $f$ is said to be post-critically finite (PCF) if there exist integers $k\ge1$ and $\ell\ge0$ such that the critical locus $\operatorname{Crit}_f$ satisfies $f^{k+\ell}(\operatorname{Crit}_f)\subseteq{f^\ell(\operatorname{Crit}_f)}$. The smallest such $\ell$ is called the tail-length. We prove that for $d\ge3$ and $n\ge2$, the set of PCF maps $f$ with tail-length at most $2$ is not Zariski dense in the the parameter space of all such maps. In particular, maps with periodic critical loci, i.e., with $\ell=0$, are not Zariski dense.

연구 동기 및 목표

• 다양체 $ \mathbb{P}^n $ 에서 $ n \geq 2 $ 인 경우, 사상의 매개수 공간에서 후행적으로 비한정적(PCF) 맵의 밀도를 조사하는 것.
• 1차원의 경우와는 달리 고차원에서 PCF 맵이 희박할 것으로 기대되는 이유를 이해하는 것. 1차원에서는 PCF 맵이 제로지 밀도임이 알려져 있다.
• $ d \geq 3 $ 이고 $ n \geq 2 $ 인 경우, 꼬리 길이가 2 이하인 PCF 맵의 집합이 $ \operatorname{End}_d^n $ 에서 제로지 밀도가 아니라는 것을 증명하는 것.
• 고차원에서 임의의 고정된 꼬리 길이를 가진 PCF 맵이 희박하다는 추측에 대한 증거를 제공하는 것.
• 고차원 동역학에서 임계 위치의 기하학과 그 전방 궤도에 대한 기본 결과를 확립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $ f^{k+\ell}(\operatorname{Crit}_f) \subseteq f^\ell(\operatorname{Crit}_f) $ 조건을 통해 $ \mathbb{P}^n $ 상의 PCF 맵을 정의하며, $ \ell $ 는 꼬리 길이이다.
• 임계 위치 $ \operatorname{Crit}_f $ 는 야코비안 행렬식의 영함수로 정의되며, 그 기하학적 성질, 특히 일반 유형과 특이점에 대해 연구한다.
• 특히 결정식 다양체 이론과 그 코다이라 위상수치를 활용하여, $ d \geq 3 $ 인 경우에 $ \operatorname{Crit}_f $ 가 약한 조건 하에 일반 유형임을 보여주는 대수기하학의 결과를 적용한다.
• 임의의 $ f_0 \in \operatorname{End}_d^n $ 를 구성하여 핵심 기하 조건을 만족시키는 것으로, 즉 임계 위치가 기약이며 일반 유형이며, 분지 위치에서 일반적으로 1대1 사상이며, 임계 위치에서의 중복도가 2임을 보장한다.
• 거품 이론과 $ \mathbb{F}[[t]] $ 위에서의 단형성 논증을 통해, 임계 위치의 이미지에 속한 특정 점들의 배열이 작은 변형 하에서는 실현될 수 없음을 보여준다.
• Proposition 24 를 적용하여, 꼬리 길이 $ \leq 2 $ 인 PCF 조건을 만족하는 맵들의 집합이 $ \operatorname{End}_d^n $ 의 적절한 닫힌 부분다양체에 속해 있음을 결론 내린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양체 $ \mathbb{P}^n $ 에서 $ n \geq 2 $ 이고 $ d \geq 3 $ 인 경우, 후행적으로 비한정적 맵이 매개수 공간 $ \operatorname{End}_d^n $ 에서 제로지 밀도인가?
• RQ2 왜 고차원에서 PCF 맵은 $ \mathbb{P}^1 $ 에서의 경우와는 달리 희박할 것으로 기대되는가? $ \mathbb{P}^1 $ 에서는 PCF 맵이 밀도가 높다는 게 알려져 있다.
• RQ3 임계 위치의 기하학과 그 전방 궤도를 이용하여 고차원에서 PCF 맵의 희박성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 고정된 꼬리 길이 $ \ell \geq 1 $ 를 가진 PCF 맵의 집합은 $ \operatorname{End}_d^n $ 의 적절한 제로지 닫힌 부분다양체에 포함되는가?
• RQ5 임의의 $ k > \ell $ 에 대해 $ f^k(\operatorname{Crit}_f) \subseteq f^\ell(\operatorname{Crit}_f) $ 를 만족시키기 위해 $ f $, $ \operatorname{Crit}_f $, 그리고 $ f|_{\operatorname{Crit}_f} $ 가 만족해야 할 기하학적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $ d \geq 3 $ 이고 $ n \geq 2 $ 인 경우, 꼬리 길이가 2 이하인 후행적으로 비한정적 맵의 집합은 $ \operatorname{End}_d^n $ 에서 제로지 밀도가 아니며, 적절한 제로지 닫힌 부분집합에 속해 있다.
• 특히, 꼬리 길이 $ \ell = 0 $ 인 후행적으로 주기적인 맵은 $ d \geq 3 $, $ n \geq 2 $ 인 경우 $ \operatorname{End}_d^n $ 에서 제로지 밀도가 아니다.
• $ d \geq 3 $, $ n \geq 2 $ 인 경우, 일반적인 맵 $ f \in \operatorname{End}_d^n $ 에서의 임계 위치 $ \operatorname{Crit}_f $ 는 일반 유형의 기약 다양체이다.
• 저자들은 $ \ell = 2 $ 인 경우 Proposition 24 의 가정을 만족하는 맵 $ f_0 \in \operatorname{End}_d^n $ 를 구성하였으며, 이는 $ f_0|_{\operatorname{\mathcal{B}}_{f_0}} $ 가 일반적으로 1대1이며, $ f_0 $ 가 $ \operatorname{Crit}_{f_0} $ 에서 중복도 2를 가짐을 포함한다.
• $ \mathbb{F}[[t]] $ 위에서의 단형성과 변형 논증을 통해, 임계 위치의 이미지에 속한 특정 점 배열이 작은 변형 하에서는 실현될 수 없음을 보였으며, 이는 희박성을 시사한다.
• 이 결과는 임의의 고정된 $ \ell \geq 1 $ 에 대해, 꼬리 길이 $ \ell $ 인 PCF 맵의 집합이 $ \operatorname{End}_d^n $ 의 적절한 제로지 닫힌 부분다양체에 포함된다는 추측을 지지한다.