[논문 리뷰] Posterior propriety in Bayesian extreme value analyses using reference priors

Paul J. Northrop, Nicolas Attalides|UCL Discovery (University College London)|2015. 05. 19.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 37인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 페아레토(GP) 및 일반화된 극단가치(gev) 분포에 대해 기준 사전을 사용한 베이지안 극단가치 분석에서 사후 적합성에 대해 조사한다. MDI 사전은 GP 또는 GEV에 대해 언제나 적합한 사후를 도출하지 못하며, 제프레즈 사전은 GEV에 대해 실패하지만, 독립적인 균일 사전은 GP의 경우 최소 3개, GEV의 경우 최소 4개의 관측치로도 적합한 사후를 도출한다.

ABSTRACT

The Generalized Pareto (GP) and Generalized extreme value (GEV) distributions play an important role in extreme value analyses, as models for threshold excesses and block maxima respectively. For each of these distributions we consider Bayesian inference using "reference" prior distributions (in the general sense of priors constructed using formal rules) for the model parameters, specifically a Jeffreys prior, the maximal data information (MDI) prior and independent uniform priors on separate model parameters. We investigate the important issue of whether these improper priors lead to proper posterior distributions. We show that, in the GP and GEV cases, the MDI prior, unless modified, never yields a proper posterior and that in the GEV case this also applies to the Jeffreys prior. We also show that a sample size of three (four) is sufficient for independent uniform priors to yield a proper posterior distribution in the GP (GEV) case.

연구 동기 및 목표

• 비정보적 기준 사전—제프레즈, MDI 및 독립 균일 사전—이 극단가치 모형의 베이지안 추론에서 적합한 사후 분포를 도출하는지 평가하기 위해.
• 비정보적 사전을 사용할 경우 GP 및 GEV 분포에서 사후 적합성에 대한 불확실성을 해결하여 타당한 베이지안 추론을 보장하기 위해.
• 균일 사전을 사용할 경우 적합한 사후를 도출하기 위한 최소 표본 크기 요건을 설정하여 계산 및 이론적 타당성을 확보하기 위해.
• 비정보적 사전이 비적합한 사후를 초래하는 조건을 명확히 하여 극단가치 분석에서 오해의 소지가 있는 MCMC 결과를 피하기 위해.

제안 방법

• 모델의 모수에 대해 제프레즈, MDI 및 독립 균일 사전을 사용하여 GP 및 GEV 모형의 결합 사후 밀도를 유도한다.
• 사후 밀도의 적분 가능성 평가를 위해 공식적인 수학적 분석을 적용하며, 주로 비적합한 사전과 사후 적합성에 미치는 영향을 중점적으로 다룬다.
• 변수변환과 적분 경계(예: 감마 함수 항등식을 통한)를 사용하여 매개변수 공간에서 사후 적분의 수렴성을 평가한다.
• 증명 과정에서 $ u = (y_1 - \theta)^{-1} $ 및 $ x = -1/\theta $ 등의 치환을 사용하여 복잡한 적분을 변형하고 경계를 설정한다.
• 기존의 적분 항등식(예: 그라드슈타이니크와 리즈히크의 자료에서 제공된 것들)을 활용하여 사후 정규화 상수를 평가하거나 경계를 설정한다.
• 사후 밀도의 행동을 다양한 매개변수 영역(예: $ \theta < -1 $, $ -1 \leq \theta \leq 0 $, $ \theta > 0 $)에서 분석하여 적분 가능성 여부를 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MDI 사전은 일반화된 페아레토(GP) 분포에 대해 적합한 사후를 도출하는가?
• RQ2 제프레즈 사전은 일반화된 극단가치(GEV) 분포에 대해 적합한 사후를 도출하는가?
• RQ3 독립 균일 사전을 사용할 경우 GP 및 GEV 모형에서 적합한 사후를 도출하기 위한 최소 표본 크기는 얼마인가?
• RQ4 어떤 조건에서 비적합한 기준 사전이 비적합한 사후를 초래하는가?

주요 결과

• MDI 사전은 표본 크기와 관계없이 GP 또는 GEV 분포에 대해 언제나 비적합한 사후를 도출한다.
• 제프레즈 사전 역시 큰 표본이 있더라도 GEV 분포에 대해 적합한 사후를 도출하지 못한다.
• GP 분포의 경우, 독립 균일 사전은 최소 3개의 관측치로도 적합한 사후를 도출한다.
• GEV 분포의 경우, 독립 균일 사전은 최소 4개의 관측치로도 적합한 사후를 도출한다.
• n=4인 GEV 모형의 정규화 상수 $ K_4 $ 는 유한하므로, $ n \geq 4 $ 에서 사후 적합성이 확인된다.
• 사후 적합성 평가에 사용된 적분들(예: $ J_1, J_2, J_3 $)은 지정된 매개변수 범위에서 유한하고 경계가 존재하므로 적분 가능성 여부가 확인된다.