[논문 리뷰] Power Functions over Finite Fields with Low $c$-Differential Uniformity

Haode Yan, Sihem Mesnager외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 29.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 거듭제곱 함수 $ F(x) = x^d $ 의 $ c $-미분 균일성에 대해 조사하며, 낮은 $ c $-미분 균일성을 가지는 새로운 함수 클래스를 제안한다. Gold 지수 함수가 거의 완전한 $ c $-비선형성임을 증명하고, 최근 제기된 예외적 준평면 거듭제곱 함수에 대한 추측을 확인하여 그 $ c $-미분 균일성이 최대 4임을 입증한다.

ABSTRACT

Very recently, a new concept called multiplicative differential (and the corresponding $c$-differential uniformity) was introduced by Ellingsen extit{et al} in [C-differentials, multiplicative uniformity and (almost) perfect c-nonlinearity, IEEE Trans. Inform. Theory, 2020] which is motivated from practical differential cryptanalysis. Unlike classical perfect nonlinear functions, there are perfect $c$-nonlinear functions even for characteristic two. The objective of this paper is to study power function $F(x)=x^d$ over finite fields with low $c$-differential uniformity. Some power functions are shown to be perfect $c$-nonlinear or almost perfect $c$-nonlinear. Notably, we completely determine the $c$-differential uniformity of almost perfect nonlinear functions with the well-known Gold exponent. We also give an affirmative solution to a recent conjecture proposed by Bartoli and Timpanella in 2019 related to an exceptional quasi-planar power function.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위에서 거듭제곱 함수 $ F(x) = x^d $ 의 $ c $-미분 균일성을 분석하며, 특히 차등 암호분석에 대한 저항력을 향상시키는 데 초점을 맞춘다.
• 낮은 $ c $-미분 균일성을 가지는 거듭제곱 함수를 식별하고 특성화하며, 완전한 $ c $-비선형성(PcN) 및 거의 완전한 $ c $-비선형성(APcN) 함수를 포함한다.
• Bartoli와 Timpanella가 최근 제기한 예외적 준평면 거듭제곱 함수의 $ c $-미분 균일성에 대한 추측을 해결한다.
• 기존의 차등 균일성 이론을 초월하여, 특히 이전에 PcN 함수가 존재할 수 없다고 여겨졌던 짝수 특성수 필드에서 $ c $-미분 균일성 이론을 확장한다.

제안 방법

• 저자들은 $ c $-도함수 $ {}_cD_aF(x) = F(x+a) - cF(x) $ 를 정의하고, $ a \neq 0 $ 에 대해 $ F(x+a) - cF(x) = b $ 의 해의 수를 분석한다.
• 그들은 $ \mathrm{GF}(p^n)^\sharp $ 의 부분집합으로 나누어진 $ x $ 와 $ x+1 $ 의 이차 특성에 따라, 레지만드 표기 기반의 케이스 분석과 문자합 기법을 사용하여 해의 수를 세는 데 사용한다.
• 분석은 $ c $ 의 값, 필드 특성수 $ p $, 그리고 $ b $ 가 $ \mathrm{GF}(p^n)^* $ 내에서 제곱수 또는 비제곱수인지를 기준으로 케이스를 구분한다.
• 특히 $ d = 2^k + 1 $ 인 경우에 대해, $ (x+1)^d + x^d = b $ 의 해의 수를 유계화하기 위해 이차 잔여물과 비잔여물의 성질을 적용한다.
• 대칭성의 성질을 활용한다: $ x $ 가 해이면 $ -x-1 $ 도 해이며, 특히 $ d $ 가 짝수이고 $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ 일 때 유용하다.
• 네 개의 서로소 집합 $ S_{\chi(x), \chi(x+1)} $ 에 걸쳐 해의 수를 분석함으로써 $ {}_c\Delta_F $ 의 경계를 설정하여, $ p^n \equiv 1 \text{ 또는 } 3 \pmod{4} $ 일 때 최대 4의 균일한 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위에서 거듭제곱 함수 $ F(x) = x^d $ 중에서 $ c $-미분 균일성이 낮은, 특히 $ c $-미분 균일성이 1 또는 2인 함수는 무엇인가?
• RQ2 짝수 특성수에서 거듭제곱 함수로부터 완전한 $ c $-비선형성(PcN) 또는 거의 완전한 $ c $-비선형성(APcN) 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 유한체 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 에서 Gold 지수 함수 $ x^{2^k + 1} $ 의 정확한 $ c $-미분 균일성은 얼마인가?
• RQ4 Bartoli와 Timpanella가 추측한 예외적 준평면 거듭제곱 함수는 실제로 $ c $-미분 균일성이 최대 4인가?
• RQ5 특히 $ c \neq 1 $ 일 때, 거듭제곱 함수의 $ c $-미분 균일성은 $ c $, 필드 크기, 지수 $ d $ 에 따라 어떻게 변하는가?

주요 결과

• 유한체 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 에서 Gold 지수 함수 $ x^{2^k + 1} $ 의 $ c $-미분 균일성은 최대 4이며, 특정 $ c $ 에 대해 거의 완전한 $ c $-비선형성(APcN)을 가진다.
• $ p^n \equiv 1 \pmod{4} $ 일 때, $ d = 2^k + 1 $ 인 $ x^d $ 의 $ c $-미분 균일성은 최대 4로 유계화된다.
• $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ 일 때, $ d = 2^k + 1 $ 인 $ x^d $ 의 $ c $-미분 균일성 역시 최대 4로 유계화된다.
• 논문은 Bartoli와 Timpanella의 추측을 확인한다: 예외적 준평면 거듭제곱 함수의 $ c $-미분 균일성은 최대 4이다.
• 저자들은 $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ 일 때, $ c = -1 $ 인 경우 $ x^{2^k + 1} $ 이 거의 완전한 $ c $-비선형성(APcN)임을 증명한다.
• 이 연구는 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 에서 완전한 $ c $-비선형성(PcN) 함수가 존재함을 입증하며, 기존의 가정(즉, PcN 함수는 홀수 특성수에서만 존재함)을 뒤집는다.