[논문 리뷰] Power law distribution of seismic rates: theory and data

А. И. Саичев, Didier Sornette|ArXiv.org|2004. 12. 07.

Geotechnical and Geomechanical Engineering인용 수 19

한 줄 요약

논문은 캘리포니아 남부 지역의 시공간 영역에서 관측된 지진 빈도 분포의 힘법 꼬리가 ETAS 모델에서의 연쇄적 지진 촉발에 기인하며, 안정된 지수 μ ≈ 1.6를 가짐을 제안한다. 기존의 고결된 비균질성 구조를 고려한 확장된 이론은 가장 큰 시간 창에서 캘리브레이션된 모수를 사용하여 1일에서 1000일까지의 시간 창에서 관측된 분포를 성공적으로 예측하며, 이는 푸아송 기반 예측 및 분류 방법에 도전한다.

ABSTRACT

We report an empirical determination of the probability density functions P(r) of the number r of earthquakes in finite space-time windows for the California catalog, over fixed spatial boxes 5 x 5 km^2 and time intervals dt =1, 10, 100 and 1000 days. We find a stable power law tail P(r) ~ 1/r^{1+mu} with exponent mu \approx 1.6 for all time intervals. These observations are explained by a simple stochastic branching process previously studied by many authors, the ETAS (epidemic-type aftershock sequence) model which assumes that each earthquake can trigger other earthquakes (``aftershocks''). An aftershock sequence results in this model from the cascade of aftershocks of each past earthquake. We develop the full theory in terms of generating functions for describing the space-time organization of earthquake sequences and develop several approximations to solve the equations. The calibration of the theory to the empirical observations shows that it is essential to augment the ETAS model by taking account of the pre-existing frozen heterogeneity of spontaneous earthquake sources. This seems natural in view of the complex multi-scale nature of fault networks, on which earthquakes nucleate. Our extended theory is able to account for the empirical observation satisfactorily. In particular, the adjustable parameters are determined by fitting the largest time window $dt=1000$ days and are then used as frozen in the formulas for other time scales, with very good agreement with the empirical data.

연구 동기 및 목표

• 캘리포니아 남부 지역의 시공간 영역에서 관측된 지진 빈도 분포의 힘법 꼬리를 설명하기 위해.
• 지진 빈도의 무거운 꼬리 분포가 통계적 오류가 아닌 촉발된 지진 모델의 본질적 특성인지 테스트하기 위해.
• 자발적 지진 발생원의 사전 존재하는 고결된 비균질성을 통합하여 ETAS 모델을 개선하여 실제 데이터와의 일치도를 높이기 위해.
• 지진 예측 및 분류에 푸아송 통계를 사용하는 것이 지진 빈도의 진정한 분포를 잘못 표현할 수 있음을 도전하기 위해.

제안 방법

• 저자는 ETAS 분지 과정 프레임워크 내에서 지진 시퀀스의 시공간 조직을 모델링하기 위해 생성함수를 사용한다.
• 생성함수와 확률분포에 대한 근사치를 개발하며, 유한한 공간 창에 대해 분해 기법을 포함한다.
• 공간적으로 비균일한 사전 존재하는 자발적 지진 발생원 분포를 포함하며, 이는 고결된 응력/단층망으로 모델링된다.
• 비선형 적분방정식의 수치적 해를 사용하여 분석적 근사치를 검증한다.
• 모델은 가장 큰 시간 창(Δt = 1000일)에서 캘리브레이션되며, 동일한 모수를 더 작은 창에서 사용하여 일관성 여부를 테스트한다.
• 이론적 예측은 캘리포니아 지진 카탈로그의 실제 데이터와 비교되며, 네 가지 시간 창(1일, 10일, 100일, 1000일)에서 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 시공간 영역에서의 지진 빈도 분포가 1~1000일의 다양한 시간 스케일에서 안정적인 힘법 꼬리와 함께 μ ≈ 1.6의 지수를 보이는가?
• RQ2 촉발된 지진 모델인 ETAS 모델이 푸아송 통계에 의존하지 않고도 관측된 지진 빈도의 뚜렷한 꼬리 분포를 설명할 수 있는가?
• RQ3 자발적 지진 발생원에 사전 존재하는 고결된 비균질성을 포함함으로써 실제 데이터와의 일치도는 어떻게 향상되는가?
• RQ4 표준 분류 및 가능도 점수 방법이 푸아송 통계에 기반할 경우, 지진 빈도의 본질적 무거운 꼬리 특성으로 인해 어느 정도 실패하는가?

주요 결과

• 캘리포니아의 지진 빈도 확률밀도함수는 1일에서 1000일까지의 모든 시간 창에서 안정적인 힘법 꼬리 P_data(r) ∼ 1/r^{1+μ}를 보이며, 지수 μ ≈ 1.6이다.
• 연쇄적 후진지진를 포함한 ETAS 모델은 자동으로 지진 빈도에 힘법 꼬리를 생성하며, 관측된 뚜렷한 꼬리 분포를 설명한다.
• 유한한 시공간 창에서 실제 데이터와의 정량적 일치를 위해 자발적 지진 발생원에 사전 존재하는 고결된 비균질성을 포함하는 것이 필수적이다.
• 1000일 창에서 캘리브레이션된 모수는 재피팅 없이도 더 짧은 창(1일, 10일, 100일)의 분포를 성공적으로 예측하며, 이는 안정성과 척도 불변성을 보여준다.
• 유한 도메인에 대한 분해 근사치는 정확한 수치 해와 반정량적 일치를 보이며, 진짜 분포에서 큰 r 값에서 더 빠른 감쇠가 주요 차이점이다.
• 결과는 지진 빈도의 본질적 무거운 꼬리 특성으로 인해 푸아송 기반 가능도 점수 및 분류 방법이 근본적으로 잘못될 수 있음을 암시한다.