[논문 리뷰] Power-law distributions in economics: a nonextensive statistical approach

Sı́lvio M. Duarte Queirós, Celia Anteneodo외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2005. 03. 02.

Statistical Mechanics and Entropy인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경제 시스템 내의 파wer-법 분포를 모델링하기 위해 $S_q$ 엔트로피를 기반으로 한 비확장 통계역학 프레임워크를 제안한다. 특히 주식 거래량과 수익률에 초점을 맞춘다. 변동하는 역온도를 가진 덧셈-곱셈 스토케스틱 과정을 활용하여 $q$-가우시안 및 파워-법 尾 분포를 유도함으로써 실증적인 금융 데이터와 일치시키며, 표준 브라운 운동을 초월한 두꺼운 尾 분포를 위한 통합적 메커니즘을 제공한다.

ABSTRACT

The cornerstone of Boltzmann-Gibbs ($BG$) statistical mechanics is the Boltzmann-Gibbs-Jaynes-Shannon entropy $S_{BG} \equiv -k\int dx f(x)\ln f(x)$, where $k$ is a positive constant and $f(x)$ a probability density function. This theory has exibited, along more than one century, great success in the treatment of systems where short spatio/temporal correlations dominate. There are, however, anomalous natural and artificial systems that violate the basic requirements for its applicability. Different physical entropies, other than the standard one, appear to be necessary in order to satisfactorily deal with such anomalies. One of such entropies is $S_q \equiv k (1-\int dx [f(x)]^q)/(1-q)$ (with $S_1=S_{BG}$), where the entropic index $q$ is a real parameter. It has been proposed as the basis for a generalization, referred to as {\it nonextensive statistical mechanics}, of the $BG$ theory. $S_q$ shares with $S_{BG}$ four remarkable properties, namely {\it concavity} ($\forall q>0$), {\it Lesche-stability} ($\forall q>0$), {\it finiteness of the entropy production per unit time} ($q \in \Re$), and {\it additivity} (for at least a compact support of $q$ including $q=1$). The simultaneous validity of these properties suggests that $S_q$ is appropriate for bridging, at a macroscopic level, with classical thermodynamics itself. In the same natural way that exponential probability functions arise in the standard context,power-law tailed distributions, even with exponents {\it out} of the Lévy range, arise in the nonextensive framework. In this review, we intend to show that many processes of interest in economy, for which fat-tailed probability functions are empirically observed, can be described in terms of the statistical mechanisms that underly the nonextensive theory.

연구 동기 및 목표

• 장거리 상관관계와 두꺼운 尾를 가지는 비정상적인 경제 시스템을 묘사하는 데에 한계가 있는 볼츠만-지브스 통계역학의 문제점을 해결하기 위해.
• 금융 시계열에서 관찰되는 실증적 파워-법 분포(예: 주식 거래량과 수익률)를 모델링하기 위해 비확장성 $S_q$ 엔트로피 형식을 적용하기 위해.
• 변동하는 매개수를 가진 덧셈-곱셈 스토케스틱 과정이 실질적인 금융 데이터와 일치하는 $q$-가우시안 및 파워-법 尾 분포를 생성할 수 있음을 보여주기 위해.
• 비확장 통계역학과 슈퍼스테이터스틱 간의 연결을 수립하기 위해, 특히 변동하는 역온도를 통해 시장 역학을 모델링하기 위해.
• 더 미세한 모델 기반으로 뿌리를 두고 있는 메조스코픽 수준의 금융 관측량 기술을 제공하기 위해.

제안 방법

• 논문은 비확장 엔트로피 $S_q = k(1 - \sum p_i^q)/(1 - q)$ 를 사용하며, 이는 $q \to 1$ 근처에서 볼츠만-지브스 엔트로피 $S_{BG}$ 를 일반화한다.
• 금융 역학은 덧셈 및 곱셈 노이즈를 모두 포함하는 스토케스틱 랑주반 방정식을 사용하여 모델링된다: $dv = -\gamma(v - \theta)\frac{1}{v}dt + \mu\sqrt{v}dW_1 + \alpha dW_2$.
• 이 랑주반 방정식에서 유도된 포크너-플랭크 방정식은 다음과 같은 정적 확률밀도함수를 얻는다: $P(v) \propto (v/\theta)^\alpha \exp_q(-v/\theta)$, 여기서 $\exp_q$ 는 $q$-지수함수이다.
• 이 분포는 변동 매개수 $\beta$ 에 대해 감마 분포를 가정함으로써 유도되며, 이로 인해 $q = 1 + 1/(1 + \alpha + \delta)$ 와 관련된 지수를 가진 파워-법 尾가 유도된다.
• 역온도 $\beta$ 를 변동 가능한 강도 매개수로 간주함으로써 슈퍼스테이터스틱을 통합함으로써, 베크와 코헨의 접근과 연결된다.
• 뉴욕 증권거래소(NYSE) 1분 단위 거래량 데이터에 대한 수치 시뮬레이션과 실증 피팅을 통해 모델을 검증하였으며, $q = 1.17$, $\alpha = 1.79$, $\delta = 3.09$, 그리고 $\lambda = 1.42$ 를 도출하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비확장 통계역학과 $S_q$ 엔트로피를 사용하여 금융 시계열에서 관찰되는 두꺼운 尾 분포를 충분히 묘사할 수 있는가?
• RQ2 변동 매개수를 가진 덧셈-곱셈 스토케스틱 과정이 경제 시스템 내에서 파워-법 尾 분포를 어떻게 생성하는가?
• RQ3 변동하는 역온도는 주식 거래량과 변동성의 역학을 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 어느 정도의 범위에서 $q$-가우시안 분포가 수익률과 거래량과 같은 금융 관측량에 대한 일반 모델이 될 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 금융 시장 행동을 묘사하는 데 있어 기존의 G/ARCH 모델과 슈퍼스테이터스틱 간에 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?

주요 결과

• 모델은 뉴욕 증권거래소(NYSE) 1분 단위의 거래량에 대해 실증적인 파워-법 尾 분포를 성공적으로 재현하였으며, $q$-지수함수 피팅 결과 $q = 1.17$ 를 도출하였다.
• 거래량 역학의 정적 분포는 $P(v) \propto (v/\theta)^\alpha \exp_q(-v/\theta)$ 로 유도되었으며, 여기서 $q = 1 + 1/(1 + \alpha + \delta)$ 로서 지수는 시스템 매개수와 관련된다.
• 랑주반 방정식의 수치 시뮬레이션은 실제 금융 데이터와 유사한 간헐적 폭발과 지속적인 상관관계를 재현하여 모델의 현실성에 대한 지지를 받는다.
• 이 프레임워크는 레비 비행을 통해 두꺼운 尾가 발생하는 것이 아니라 내부의 곱셈 노이즈와 변동하는 온도를 통해 두꺼운 尾가 발생함을 설명하며, 레비 범위 외의 지수를 허용한다.
• 이 모델은 더 미세한 스토케스틱 과정 기반으로 뿌리를 두고 있는 메조스코픽 수준의 금융 역학 기술을 제공하며, 원리 기반 유도로 이어지는 다리를 놓는다.
• 감마 분포를 가진 $\beta$ 매개수를 사용한 슈퍼스테이터스틱의 적용은 관측된 파워-법 행동을 성공적으로 생성하였으며, 시장 내 비확장성의 물리적 메커니즘을 제안한다.