[논문 리뷰] Power Law Multi-Scaling of Material Strength

Alexander M. Korsunsky|arXiv (Cornell University)|2005. 08. 27.

Hydrogen embrittlement and corrosion behaviors in metals참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다양한 크기 또는 시간 스케일에서 재료 강도의 서로 다른 거듭제곱 법칙 스케일링 영역 간 전이를 모델링하기 위해 일반적인 '무릎' 함수를 제안한다. 이 유연한 함수는 균열 파손역학, 플라스티시티, 그리고 인덴테이션 경도에서의 다중 스케일 현상을 정확하게 기술함을 보여주며, 균열이 있는 고체, 탄소성-플라스틱 재료, 코팅 시스템을 포함한 다양한 재료 체계에서 실험 데이터와 뛰어난 일치를 보이는 주요 결과를 제시한다.

ABSTRACT

Power law is one of the the simplest forms of the relationship between different variables of a system. It leads naturally to the introduction of compound parameters describing physical properties of the system. Often one of the variables of interest is the object dimension, or time. The prevalence of a simple power law over the entire range of dimensions or times can be helpfully interpreted as size or time independence of the corresponding compound physical parameter of the system. However, it is also often found that a simple power law only persists for some extreme values, e.g. for very large and/or small sizes, or very short or long times. Transitions between regimes of different power law asymptotic behaviour are encountered frequently in the description of a wide variety of physical systems. While asymptotic power law behaviour may often be readily predicted, e.g. on dimensional grounds, the evaluation of the relationship between system parameters in the transition range usually requires laborious detailed solution. To obviate this difficulty we introduce, on rather general basis, something we refer to as the merging, or 'knee' function. The function possesses sufficient flexibility to describe transitions of various sharpness. To demonstrate its usefuness, the merging function is applied to a variety of well-known scaling laws in the mechanics and strength of materials and structures.

연구 동기 및 목표

• 간단한 거듭제곱 법칙으로는 기술할 수 없는 재료 강도의 서로 다른 거듭제곱 법칙 스케일링 영역 간 전이 상태를 기술하는 데 도전하는 것.
• 다양한 기계적 시스템에서 스케일링 행동 간 급격하거나 점진적인 전이를 모델링할 수 있는 일반적이고 민감한 수학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 균열 전파, 플라스틱 변형, 그리고 인덴테이션 치수 효과를 포함한 크기 의존성 강도 현상에 대한 통합된 접근 방식을 제공하는 것.
• 다양한 재료 과학 및 기계학 분야에서 실험 데이터에 대한 '무릎' 함수의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 두 개의 거듭제곱 법칙 영역 간을 부드럽게 보간하는 일반적인 '무릎' 함수 $ f(x) = \frac{1}{1 + (x/x_0)^m} $ 를 제안한다.
• 탄성 선형 파손역학에서 장균열과 단균열 영역 간 전이에 이 함수를 적용하며, 각각 강도가 $ \sigma \propto a^{-1/2} $ 과 $ \sigma = \sigma_0 $ 로 스케일링됨을 모델링한다.
• 탄성-플라스틱 재료에서의 정합 모odulus 감소를 $ \frac{E^S}{E} = \frac{1}{1 + (\sigma/\sigma^*)^m} $ 를 통해 기술하며, $ \sigma^* $ 는 유한응력으로 정의된다.
• 코팅 시스템에서의 인덴테이션 치수 효과를 모델링하기 위해 무릎 함수를 변형하여 $ H - H_s = \frac{H_f - H_s}{1 + (\delta/\delta_0)^m} $ 를 사용하며, 여기서 $ \delta $ 는 상대적 인덴테이션 깊이이다.
• 다양한 재료 체계에서 실험 데이터에 대한 무릎 함수의 적합도를 검증하기 위해 이중 로그 및 반로그 플롯을 활용한다.
• 파손, 플라스틱성, 인덴테이션 연구에서의 실험 데이터를 사용하여 무릎 함수의 매개변수(예: $ m $, $ \delta_0 $)를 캘리브레이션한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 단일 수학적 함수가 재료 강도의 서로 다른 거듭제곱 법칙 스케일링 영역 간 전이 상태를 기술할 수 있는가?
• RQ2 파손역학, 플라스틱성, 인덴테이션 경도에서 다중 스케일링 행동을 가장 잘 기술하는 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ3 '무릎' 함수는 재료의 탄성에서 플라스틱 거동로의 전이를 정확하게 모델링할 수 있는가?
• RQ4 균열이 있는 재료와 코팅 재료에서 크기 의존성 강도를 기술하는 데 있어 '무릎' 함수는 기존 모델과 비교해 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 전기 도금된 Ni 코팅의 명시적 경도에 대해 실험 데이터와 뛰어난 일치를 보이며, 매개변수 $ H_f = 436 \pm 15 \, \text{MPa} $, $ H_s = 250 \pm 21 \, \text{GPa} $, $ m = 13.4 \pm 1.1 $ 을 확보한다.
• 재료의 탄성에서 플라스틱 거동으로의 전이는 무릎 함수에 의해 잘 기술되며, 정합 모odulus는 $ \frac{E^S}{E} = \frac{1}{1 + (\sigma/\sigma^*)^m} $ 로 감소한다.
• 모델에 의해 예측된 유한응력 $ \sigma^* $ 는 $ \sigma^* = \left( \frac{k^m}{E} \right)^{1/(m-1)} $ 로 표현되며, $ k $ 와 $ m $ 은 실험적 응력-변형률 데이터로부터 유도된다.
• 접선 모odulus의 편차 $ E' = E - E^T $ 는 유한점 근처에서 급격한 전이를 보이며, 이는 무릎 함수에 의해 잘 포착된다.
• 모델은 파손역학에서의 다중 스케일링 행동을 성공적으로 기술한다. 여기서 파손 응력은 장균열 영역에서 $ \sigma \propto a^{-1/2} $ 로부터 단균열 영역에서 $ \sigma = \sigma_0 $ 로 전이된다.
• 무릎 함수는 코팅 시스템에서의 인덴테이션 치수 효과를 효과적으로 기술하며, 경도 증가량 $ H - H_s $ 는 상대적 인덴테이션 깊이 $ \delta $ 의 함수로 거듭제곱 법칙 전이를 따른다.