[논문 리뷰] Power-law relaxation behavior of an initially localized state in the spin-1/2 Heisenberg chain

Tetsuo Deguchi, Pulak Ranjan Giri외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 27.

Quantum many-body systems참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 형식 인자에 대한 행렬식 공식을 사용하여 초기에 국소화된 상태에서 시작하는 스핀-1/2 허이젠베르크 스핀 체인에서 국소 자화의 정확한 시간 진동수를 제시한다. 장시간에 걸쳐 국소 자화의 제곱 편차의 거듭제곱 법칙에 의한 감쇠를 입증하며, 이는 명확한 평형화 시간이 없음을 시사한다. 반면, 허상도는 볼츠만 시간 스케일에서 지수적으로 감쇠되며, 이는 통합된 양자 시스템에서 국소 연산자의 보편적인 거듭제곱 법칙 감쇠를 시사한다.

ABSTRACT

We present power-law relaxation behavior of the local magnetizations in the equilibration dynamics of the spin-1/2 Heisenberg spin chain as an isolated integrable quantum system. We perform the exact time evolution of the expectation values of the local spin operators by evaluating them with the determinant formula of the form factors. We construct such an initial quantum state that has a localized profile of the local magnetizations, and perform the exact time evolution over a very long period of time. We show that the local magnetization relaxes as some power of the time variable with no definite time scale, while the fidelity relaxes very fast with its relaxation time being proportional to the inverse of the energy width, i.e. the Boltzmann time.

연구 동기 및 목표

• 고립된 통합 양자 시스템에서 국소 관측량의 비평형 평형화 역학을 조사하기 위해.
• 국소 자화가 평형 값으로 수렴하는지, 그리고 그 수렴의 시간 의존성은 어떠한지 결정하기 위해.
• 유한한 크기의 정확한 설정에서 일반화된 지브스 군집(GGE) 추측의 타당성을 검토하기 위해.
• 상호작용이 있는 통합 시스템에서 국소 연산자의 평형화 행동의 보편성을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 대칭 대수적 베테 앤티를 프레임워크로 사용하여 형식 인자의 행렬식 공식을 활용해 국소 스핀 연산자의 정확한 시간 진동수를 계산한다.
• 특히 전부 스핀론 상태를 사용하여 국소 자화 프로파일을 가진 初기 상태를 구성한다.
• 장시간 스케일에 걸쳐 시간 진동수를 시뮬레이션하여 국소 자화의 평형화 역학을 관찰한다.
• 국소 자화의 공간 평균에서의 제곱 편차를 계산하여 평형화 행동을 정량화한다.
• 초기 상태와 시간 진동수 상태 사이의 허상도를 평가하여 평형화 스케일을 평가한다.
• 제곱 편차의 시간 진동수에 거듭제곱 법칙 피팅을 적용하여 감쇠 지수를 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고립된 통합 양자 시스템에서 국소 연산자의 기대값이 시간이 지남에 따라 일정한 값으로 수렴하는가?
• RQ2 스핀-1/2 허이젠베르크 스핀 체인에서 국소 자화의 평형화 기능 형태는 무엇인가?
• RQ3 국소 관측량에 대해 특징적인 평형화 시간이 존재하는가, 아니면 거듭제곱 법칙 감쇠로 평형화되는가?
• RQ4 평형화 행동은 초기 양자 상태, 특히 다양한 스핀론 구성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 상호작용이 있는 통합 시스템에서 국소 연산자에 대해 거듭제곱 법칙 감쇠를 보편적인 것으로 간주할 수 있는가?

주요 결과

• 국소 자화의 제곱 편차는 시간에 따라 거듭제곱 법칙 감쇠를 보이며, N=50일 경우 지수는 약 0.68과 0.89이다.
• N=30일 경우, 처음에는 약 0.0289/t^1.02로 감쇠되다가, 이후 느린 감쇠 0.0765/t^0.806으로 전이된다.
• 허상도의 평형화는 볼츠만 시간 스케일에서 일어나며, 에너지 폭의 역수 비례한다.
• 시간 진동수에서는 두 단계 과정이 나타나는데, 초기에 반대 방향으로 진행하는 파동으로 분리되고, 이후 충돌하여 균일하게 진동하는 프로파일로 합쳐진다.
• 제곱 편차의 거듭제곱 법칙 감쇠는 명확한 평형화 시간이 없음을 시사하며, 감쇠하는 진폭을 가진 지속적인 진동을 시사한다.
• 감쇠 지수는 초기 상태에 따라 달라지며, 일련의 상태는 지수 근처에서 매우 느린 평형화를 보인다.