[논문 리뷰] Power law rheology of generalised Maxwell and Kelvin-Voigt models

Pedro Patrício|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 05.

Theoretical and Computational Physics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힘의 법칙 스펙트럼을 가진 일반화된 맥스웰 및 킬빈-보이트 모델의 힘의 법칙 률리올로지를 분석한다. 0 < α < 1일 경우, 두 모델 모두 살아있는 세포와 같은 연성 물질에서 흔히 관찰되는 G′ ∼ G′′ ∼ ω^α 형태의 거의 동일한 약한 힘의 법칙 행동을 보이며, 다른 α 값에서는 서로 다른 비보편적인 행동을 보이며 극한의 α 한계에서 1요소 모델로 수렴한다.

ABSTRACT

We analyse the rheological behaviour of the generalised Maxwell and Kelvin-Voigt models with a power law spectrum of relaxation or retardation times, ${\cal H}\sim 1/τ^α$ or ${\cal L}\sim τ^α$, respectively. When $02$.

연구 동기 및 목표

• 연성 물질인 풀어지지 않은 고분자, 젤리, 살아있는 세포에서 관찰되는 약한 힘의 법칙 률리올로지(G′ ∼ G′′ ∼ ω^α)의 기원을 이해하기 위해.
• 일반화된 맥스웰 및 킬빈-보이트 모델이 이 행동을 어떻게 힘의 법칙 스펙트럼을 가진 비례 또는 지연 시간 스펙트럼을 사용하여 재현하는지 조사하기 위해.
• 다른 α 값에서 두 모델이 동일하거나 상이한 률리올로지 반응을 보이는 조건을 명확히 하기 위해.
• 일반화된 맥스웰 모델의 비례 스펙트럼과 일반화된 킬빈-보이트 모델의 지연 스펙트럼 사이의 수학적 및 물리적 연결 고리를 설정하기 위해.
• 극한의 α 영역(α < -1 또는 α > 2)에서 두 모델이 1요소 맥스웰 및 킬빈-보이트 모델로 수렴하는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 연속적인 비례 스펙트럼 H ∼ 1/τ^α를 사용하여 일반화된 맥스웰 모델의 복소 률리올로지 모듈러스 G*(ω)를 유도한다.
• 연속적인 지연 스펙트럼 L ∼ τ^α를 사용하여 일반화된 킬빈-보이트 모델의 복소 적응도 J*(ω)를 유도한다.
• 라플라스 변환과 복합 초월 원리(볼츠만 슈퍼포지션 원리)를 적용하여 시간 영역 반응 함수와 주파수 영역 모듈러스를 연결한다.
• N 모드를 사용한 스펙트럼의 이산화 근사를 통해 G′(ω) 및 G′′(ω)를 수치적으로 계산하며, τ_i 및 J_i는 힘의 법칙 행동을 일치시키기 위해 선택한다.
• τ_i = τ_min * i^{(1+β)/α} 및 J_i = J * i^β를 사용하여 이산 스펙트럼을 구현하여 원하는 α-스펙트럼을 달성한다.
• 연속 모델과 이산 모델을 비교하여 결과를 검증하고, τ_min → 0 및 τ_max → ∞의 극한에서 수렴함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 맥스웰 및 킬빈-보이트 모델이 G′ ∼ G′′ ∼ ω^α 형태의 동일한 약한 힘의 법칙 행동을 보이는 조건는 무엇인가요?
• RQ2 0<α<1의 보편적인 약한 힘의 법칙 영역을 초월하여 α < 0 또는 α > 1일 경우 두 모델의 률리올로지 반응은 어떻게 다릅니까?
• RQ3 α < -1 및 α > 2의 극한에서 두 모델의 행동는 어떠하며, 이는 어떻게 1요소 맥스웰 및 킬빈-보이트 모델로 수렴합니까?
• RQ4 동일한 α 값에서 두 모델 간의 G′ 및 G′′의 교차점은 어떻게 이동하며, 이는 그들의 동적 반응에 어떤 의미를 갖습니까?
• RQ5 유한한 N 모드를 가진 이산 모델이 중간 주파수 영역에서 연속적인 힘의 법칙 행동을 정확히 재현할 수 있습니까?

주요 결과

• 0 < α < 1일 경우, 일반화된 맥스웰 및 킬빈-보이트 모델 모두 G′(ω) ∼ G′′(ω) ∼ ω^α 형태의 거의 동일한 약한 힘의 법칙 행동을 보이며, 연성 물질에서 관찰되는 결과와 일치한다.
• 일반화된 킬빈-보이트 모델에서 점탄성 모듈러스 G′′(ω)의 지수는 항상 탄성 모듈러스 G′(ω)의 지수보다 크며, 이는 맥스웰 모델에서는 관찰되지 않는 특징적 특성이다.
• α < -1일 경우, 일반화된 맥스웰 모델은 1요소 맥스웰 모델로 수렴하며, G′(ω) ∼ ω^0 및 G′′(ω) ∼ ω^1 형태로 모든 주파수에서 순수한 점성 반응을 나타낸다.
• α > 2일 경우, 일반화된 킬빈-보이트 모델은 1요소 킬빈-보이트 모델로 수렴하며, G′(ω) ∼ ω^0 및 G′′(ω) ∼ ω^1 형태로 저주파수에서 순수한 탄성 행동를 보인다.
• α < 0.5일 경우 일반화된 맥스웰 모델에서 G′ 및 G′′의 교차점은 저주파수에서 발생하지만, 동일한 α 값에서 일반화된 킬빈-보이트 모델은 고주파수에서 교차점을 가진다.
• τ_min = 10^{-3}, τ_max = 10^3, N = 10^3 조건으로 수행한 수치 시뮬레이션은 분석 예측을 확인하며 중간 주파수 영역 10^{-1} < ω < 10^1 범위에서 양호한 수렴을 보였다.