[논문 리뷰] Power Laws are Boltzmann Laws in Disguise

Peter Richmond, Sorin Solomon|ArXiv.org|2000. 10. 16.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 확률적 곱셈 동역학을 갖는 일반화된 Lotka-Volterra 모델을 통해 부와 금융 수익률의 등급 분포가 자연스럽게 유도됨을 보여주며, 이러한 등급 분포가 추가적인 로그 항을 가진 수정된 Boltzmann 분포와 동치임을 밝혀낸다. 주요 결과는 공정한 시장 조건 하에서 총 자산의 시간에 따라 변할 수 있는 동적 변화가 있더라도 안정적이고 시간에 불변한 등급 분포가 부의 분포에서 유도된다는 것이다.

ABSTRACT

Using a model based on generalised Lotka Volterra dynamics together with some recent results for the solution of generalised Langevin equations, we show that the equilibrium solution for the probability distribution of wealth has two characteristic regimes. For large values of wealth it takes the form of a Pareto style power law. For small values of wealth, (w less then wmin) the distribution function tends sharply to zero with infinite slope. The origin of this law lies in the random multiplicative process built into the model. Whilst such results have been known since the time of Gibrat, the present framework allows for a stable power law in an arbitrary and irregular global dynamics, so long as the market is `fair', i.e., there is no net advantage to any particular group or individual. We show for our model that the relative distribution of wealth follows a time independent distribution of this form even thought the total wealth may follow a more complicated dynamics and vary with time in an arbitrary manner. In developing the theory, we draw parallels with conventional thermodynamics and derive for the system the associated laws of `econodynamics' together with the associated econodynamic potentials. The power law that arises in the distribution function may then be identified with new additional logarithmic terms in the familiar Boltzmann distribution function for the system. The distribution function of stock market returns for our model, it is argued, will follow the same qualitative laws and exhibit power law behaviour.

연구 동기 및 목표

• 통계역학에 기반한 역학적 모델을 사용하여 부와 금융 수익률의 등급 분포 기원을 설명하기.
• 복잡하고 시간에 따라 변하는 총 자산의 동역학에도 불구하고 등급 분포가 지속되는 오랜 동안의 난제를 해결하기.
• 경제역학 시스템과 열역학 시스템 사이의 형식적 유사성을 수립하고, '경제역학 잠재력'을 도입하기.
• 등급 분포가 평형 상태에서 이질적인 현상이 아니라 공정한 시장에서의 무작위 곱셈 과정의 자연스러운 결과임을 보여주기.
• 일반적인 시장 동역학 하에서 부의 분포를 통합적으로 묘사하기 위해, 로그 보정이 있는 복합 Boltzmann 형태를 규명하기.

제안 방법

• 공정한 시장 상호작용을 시뮬레이션하기 위해 확률적 곱셈 노이즈를 갖는 일반화된 Lotka-Volterra 방정식을 사용하여 부의 동역학을 모델링하기.
• 최근에 해결된 일반화된 Langevin 방정식의 해를 적용하여 부의 평형 확률 분포를 유도하기.
• 평형 분포가 추가적인 로그 항을 가진 수정된 Boltzmann 분포임을 확인하고, 이로 인해 등급 분포 행동이 발생함을 규명하기.
• 분포의 渐近적 행동 분석: 큰 부의 값에서 등급 분포(파레토 영역), 작은 부의 값에서 급격한 감쇠.
• 총 자산의 시간에 따른 임의의 변화가 있더라도 상대적 부의 분포가 시간에 불변임을 확립하기.
• 열역학과의 형식적 유사성을 도출하여, 평형 통계역학에서의 열역학 잠재력과 유사한 '경제역학 잠재력'을 도입하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 총 자산의 시간에 따라 변할 수 있는 복잡한 동역학이 존재하는 시스템에서 어떻게 안정적인 등급 분포의 부 분포가 유도될 수 있는가?
• RQ2 공정한 시장 조건 하에서 부의 분포에서 등급 분포 행동을 유도하는 기본적인 역학적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ3 금융 시스템에서의 등급 분포는 일반화된 Boltzmann 분포의 한 형태로 이해될 수 있는가?
• RQ4 무작위 곱셈 과정이 평형 상태에서의 부 분포를 어떻게 형성하는가?
• RQ5 부의 분포 통계적 성질은 경제역학 시스템에서의 열역학 유사성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 평형 상태에서의 부 분포는 큰 부의 값에서 파레토 스타일의 등급 분포를 보이며, 이 등급 분포의 지수는 곱셈 과정의 노이즈 강도에 의해 결정된다.
• 임계값 w_min 이하의 작은 부의 값에서는 분포가 기하급수적으로 0으로 수렴하며, 끝없이 기울어진다. 이는 빈곤의 강력한 억제를 나타낸다.
• 등급 분포 영역은 효과적인 Boltzmann 분포 함수의 로그 보정 항에서 기인하며, 이는 등급 분포가 평형 통계역학과 별개가 아니라 그의 은폐된 형태임을 시사한다.
• 시장 동역학이 공정하고 대칭적이라면, 총 자산의 시간에 따른 임의의 변화가 있더라도 상대적 부의 분포는 시간에 불변이다.
• 모델은 주식 시장 수익률이 동일한 기반이 되는 곱셈적 확률적 과정으로 인해 동일한 정성적 등급 분포 행동을 보일 것임을 예측한다.
• 시스템의 평형은 열역학 잠재력과 유사한 '경제역학 잠재력'의 집합으로 특징지어지며, 이는 경제역학 법칙에 대한 형식적 프레임워크를 제공한다.