[논문 리뷰] Powerful $p$-groups have noninner automorphisms of order $p$ and some cohomology

Aliréza Abdollahi|ArXiv.org|2009. 01. 21.

Finite Group Theory Research참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한한 비아벨 $p$-군 $G$에서 $G/Z(G)$ 가 강력할 경우, $\Phi(G)$ 또는 $\Omega_1(Z(G))$ 를 원소별로 고정하는 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상이 존재함을 증명한다. 코homological 기법, 특히 타테 코homology 를 사용하여, $G/N$ 이 순환군이 아니고 $p > 2$ 일 때 모든 $n \geq 0$ 에 대해 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ 임을 보이며, 이는 제1 코homology 가 비자명할 경우 비내부 자기동형사상이 존재한다는 코homological 기준을 통해 이러한 자기동형사상의 존재를 암시한다. 이 결과는 $p$-중앙 및 중심열 2인 노름군에 대한 이전 연구를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study the longstanding conjecture of whether there exists a noninner automorphism of order $p$ for a finite non-abelian $p$-group. We prove that if $G$ is a finite non-abelian $p$-group such that $G/Z(G)$ is powerful then $G$ has a noninner automorphism of order $p$ leaving either $Φ(G)$ or $Ω_1(Z(G))$ elementwise fixed. We also recall a connection between the conjecture and a cohomological problem and we give an alternative proof of the latter result for odd $p$, by showing that the Tate cohomology $H^n(G/N,Z(N)) ot=0$ for all $n\geq 0$, where $G$ is a finite $p$-group, $p$ is odd, $G/Z(G)$ is $p$-central (i.e., elements of order $p$ are central) and $N\lhd G$ with $G/N$ non-cyclic.

연구 동기 및 목표

• 모든 유한한 비아벨 $p$-군이 $p > 2$ 일 때 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상이 존재한다는 오랜 동안의 추측을 해결하기 위해.
• 비자명한 타테 코homology $H^n(G/N, Z(N))$ 와 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상 존재를 연결하는 코homological 기준을 수립하기 위해.
• 만약 $G/Z(G)$ 가 강력하거나 $p$-중앙일 경우, $G$ 가 $\Phi(G)$ 나 $\Omega_1(Z(G))$ 를 원소별로 고정하는 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상이 존재함을 증명하기 위해.
• 특히 홀수 $p$ 에 대해 특정 $p$-군에서 타테 코homology 가 0이 아님을 보여주는 다른 코homological 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 특히 모든 $n \geq 0$ 에 대해 비자명함을 분석하기 위해 $p$-군의 자기동형사상을 분석하기 위해 타테 코homology $H^n(G/N, Z(N))$ 를 사용한다.
• 문제를 고정점 조건으로 줄이기 위해 코homologically 자명한 모듈러에 대한 가스튀츠 및 우치다의 정리를 적용한다.
• 교차 호모모르피즘 $Z^1(G/N, Z(N))$ 과 $C_{\text{Aut}(G)}(N; G/N)$ 내의 자기동형사상 간의 동형관계를 이용하여 코homology 와 자기동형사상의 구조를 연결한다.
• 가정된 코homology 가 자명할 경우 모순을 이끌어내기 위해 차원 이동과 $A_{H/N} = A^{\tau_{H/N}}$ 를 통한 고정점 분석을 활용한다.
• 레마 3.7 를 사용하여 $G/Z(G)$ 가 $p$-중앙이고 $p > 2$ 일 때 $Z^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ 가 기본 아벨 $p$-군임을 보인다.
• 모순에 의한 증명: $H^n(G/N, Z(N)) = 0$ 이라고 가정하면 $G/N$ 은 유일한 순서 $p$ 의 부분군을 가지며, 이는 $G/N$ 이 순환군 또는 일반화된 퀼러티언 군임을 의미한다. 이는 비순환 조건과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 비아벨 $p$-군 $G$ 에서 $G/Z(G)$ 가 강력할 경우, 항상 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상이 존재하는가?
• RQ2 어떤 코homological 조건이 $p$-군에서 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상 존재를 보장하는가?
• RQ3 어떤 정규부분군 $N \lhd G$ 에 대해 모든 $n \geq 0$ 에 대해 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ 이 성립하는가?
• RQ4 타테 코homology $H^1(G/N, Z(N))$ 가 0이 아님을 사용하여 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ5 만약 $G/N$ 이 비순환일 때, $G$ 와 $N$ 에 어떤 조건이 성립하면 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ 이 모든 $n \geq 0$ 에 대해 성립하는가?

주요 결과

• 만약 $G$ 가 유한한 비아벨 $p$-군이고 $G/Z(G)$ 가 강력할 경우, $G$ 는 $\Phi(G)$ 나 $\Omega_1(Z(G))$ 를 원소별로 고정하는 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상이 존재한다.
• 홀수 $p$ 에 대해, 만약 $G/Z(G)$ 가 $p$-중앙이거나 $G$ 가 중심열 최대 2인 노름군일 경우, 모든 비순환 몫 $G/N$ 에 대해 모든 $n \geq 0$ 에 대해 $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ 이다.
• 타테 코homology $H^1(G/N, Z(N)) \not= 0$ 이면, 조건 $C_G(N) = Z(N)$ 이 만족될 경우, 제1.4조를 통해 비내부 자기동형사상의 존재를 암시한다.
• 레마 3.7 를 사용하여 $p > 2$ 일 때 $H^n(G/N, Z(N))$ 가 0이 아님을 보여주는 다른 코homological 증명을 제시한다. 이는 $Z^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ 가 기본 아벨 $p$-군임을 보여준다.
• 증명은 $H^n(G/N, Z(N)) = 0$ 이 어떤 $n$ 에도 성립한다면 $G/N$ 은 순환군 또는 일반화된 퀄러티언 군이어야 하며, 이는 비순환 조건과 모순됨을 보여준다.
• 홀수 $p$ 에 대해, $H^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ 가 0이 아니며 교차 호모모르피즘의 구조를 이용하여 $\Phi(G)$ 를 고정하는 순서 $p$ 의 비내부 자기동형사상 존재가 증명된다.