[논문 리뷰] Practical Implementation of High-Order Multiple Precision Fully Implicit Runge-Kutta Methods with Step Size Control Using Embedded Formula

Tomonori Kouya|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 11.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 정밀도 기반의 완전히 음성적인 룬게-쿠타(IRK) 방법과 임bedded 공식, 단계 크기 조절 기법을 사용한 고차수 다중 정밀도 상미분방정식(O.D.E.) 해법기를 제시한다. 이는 혼합 정밀도 반복 보정과 W-변환 기반 행렬 축소 기법을 활용하여 내부 반복을 가속화한다. 구현 결과, 1D 브루셀레이터와 같은 강성 문제 및 대규모 문제에서 최대 29자리 정밀도를 달성하여, 기존의 DP 전용 해법기보다 정밀도와 효율성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

We propose a practical implementation of high-order fully implicit Runge-Kutta(IRK) methods in a multiple precision floating-point environment. Although implementations based on IRK methods in an IEEE754 double precision environment have been reported as RADAU5 developed by Hairer and SPARK3 developed by Jay, they support only 3-stage IRK families. More stages and higher-order IRK formulas must be adopted in order to decrease truncation errors, which become relatively larger than round-off errors in a multiple precision environment. We show that SPARK3 type reduction based on the so-called W-transformation is more effective than the RADAU5 type one for reduction in computational time of inner iteration of a high-order IRK process, and that the mixed precision iterative refinement method is very efficient in a multiple precision floating-point environment. Finally, we show that our implementation based on high-order IRK methods with embedded formulas can derive precise numerical solutions of some ordinary differential equations.

연구 동기 및 목표

• IEEE754 이중 정밀도의 한계를 초월하여 강성과 불량한 조건을 가진 문제를 다룰 수 있는 실용적인 고차수 다중 정밀도 O.D.E. 해법기를 개발하는 것.
• 고차수 IRK 방법에서 RADAU5 유형의 행렬 축소 기법의 비효율성을 극복하기 위해, 더 빠른 내부 반복을 위한 SPARK3 유형의 W-변환을 도입하는 것.
• 임의의 IRK 방법에 대해 임베디드 공식을 유도함으로써 다중 정밀도 환경에서의 적응형 단계 크기 조절을 가능하게 하는 것.
• 특히 대규모 문제에서 희소 자코비안을 가진 경우, 혼합 정밀도 반복 보정 기법을 활용하여 내부 반복에서 선형 시스템 해법을 가속화하는 것.
• 1D 브루셀레이터 문제에 대해 1000개의 DAE를 포함한 기준 강성 O.D.E. 문제에서 해법기의 고정밀도 및 성능을 입증하는 것.

제안 방법

• 해법기는 다중 정밀도 산술에서 국소 오차 추정 및 단계 크기 조절을 위해 임베디드 공식을 갖춘 고차수 완전히 음성적인 룬게-쿠타(IRK) 방법을 사용한다.
• 내부 반복에서 선형 시스템의 계수 행렬을 실수 비대칭 삼중대각형 형태로 축소하기 위해 W-변환을 적용하여, RADAU5의 복소수 대각화 방식보다 계산 효율성을 향상시킨다.
• 혼합 정밀도 반복 보정 기법을 활용하여 선형 시스템을 이중 정밀도에서 풀고 다중 정밀도에서 보정함으로써 해법 시간을 극적으로 감소시킨다.
• 희소 자코비안 행렬을 다룰 수 있도록 밴드 행렬 저장 방식과 왼쪽 전처리를 적용한 DP-MP BiCGSTAB 해법기를 사용하여 대규모 문제에 대응한다.
• CPU 최적화된 커널을 갖춘 MPFR와 GMP를 기반으로 하는 다중 정밀도 수치 라이브러리인 BNCpack을 기반으로 한 구현을 통해 고정밀도 산술을 구현한다.
• 주 IRK 공식에 부가적으로 포함된 임베디드 공식을 통해 단계 크기 조절을 달성함으로써 A-안정성과 고차수 정확도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임베디드 공식을 갖춘 고차수 IRK 방법이 다중 정밀도 환경에서 효과적으로 구현되어, 기존의 이중 정밀도 해법기보다 더 높은 정밀도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 다중 정밀도 산술 하에서 고차수 IRK 방법의 내부 반복을 가속화하기 위해, SPARK3 유형의 W-변환이 RADAU5 유형의 축소 기법보다 더 효과적인가?
• RQ3 혼합 정밀도 반복 보정 기법이 고차수 IRK 방법의 내부 반복에서 큰 선형 시스템을 풀이하는 데 있어 계산 비용을 크게 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 제안된 MP O.D.E. 해법기는 1D 브루셀레이터와 같은 강성 및 대규모 문제에서 기존 해법기와 비교해 성능과 정밀도 면에서 어떻게 뛰어나게 되는가?
• RQ5 MP O.D.E. 해법기에서의 주요 성능 저하 요인은 무엇이며, 특히 내부 반복에서 선형 해법기의 수렴 문제는 어떻게 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 1D 브루셀레이터 문제에서 20단계, 20차수의 경우 최대 상대 오차가 $1.3 \times 10^{-29}$로 나타나, 25자리 이상의 정확도를 확보하였다.
• N=500인 1D 브루셀레이터에서 20단계 방법은 단계 수를 3642초로 줄였으며(비전처리 BiCGSTAB의 64573초 대비), 왼쪽 전처리의 효과를 입증하였다.
• 혼합 정밀도 반복 보정 기법은 특히 희소 자코비안에 대해 밴드 행렬 저장 방식과 결합했을 때 선형 해법의 수렴 속도를 빠르게 하였다.
• 다중 정밀도 환경에서 고차수 IRK 방법의 내부 반복 시간을 줄이기 위해 SPARK3 유형의 W-변환이 RADAU5 유형의 축소 기법보다 더 효과적이었다.
• 100자리 다중 정밀도 결과와의 비교를 통해, 해법기는 20자리 이상의 진정한 소수 자릿수 정밀도를 성공적으로 계산하였다.
• 임베디드 공식 덕분에 단계 크기 조절이 안정적이고 효율적이었으며, 왼쪽 전처리를 적용한 DP-MP BiCGSTAB의 사용은 수렴성을 향상시키고 계산 시간을 감소시켰다.