[논문 리뷰] Practical Stability Analysis of a Drilling Pipe under Friction with a PI-Controller

Matthieu Barreau, Frédéric Gouaisbaut외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 24.

Drilling and Well Engineering인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 마찰이 있는 드릴링 파이프 시스템에 대해 PI 제어기를 사용한 실용적 안정성 분석을 제시하며, 시스템을 무한차원 ODE/PDE 연립 방정식으로 모델링한다. 린드먼 좌표 투영 기반의 새로운 리아푸노프 함수와 선형 행렬 부등식(LMIs)을 활용하여 선형화된 시스템에 대해 지수 안정성을 확립하고 비선형 시스템에 대해 실용적 안정성을 입증하며, 균형점은 안정화되지만 스틱-슬립 진동은 PI 제어로 억제되지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

This paper deals with the exponential stability of a drilling pipe controlled by a PI controller. The model used leads to a coupled ODE / PDE and is consequently of infinite dimension. Using recent advances in time-delay systems, we derive a new Lyapunov functional based on an state extension made up of projections of the Riemann coordinates. Two cases will be considered. First, we will provide an exponential stability result expressed using the LMI framework. This result is dedicated to a linear version of the torsional dynamic. On a second hand, the nonlinear terms in the initial model, that generates the well-known stick-slip phenomenon is captured through a new stability theorem. Numerical simulations show the effectiveness of the method and that the stick-slip oscillations cannot be weaken using a PI controller.

연구 동기 및 목표

• 마찰이 있는 드릴링 파이프 시스템의 안정성을 PI 제어기를 사용해 분석하는 것.
• 드릴링 동역학에서의 무한차원 모델링 문제를 다루는 것.
• 결합된 ODE/PDE 시스템에 적용 가능한 리아푸노프 기반 안정성 분석 방법을 개발하는 것.
• PI 제어기가 스틱-슬립 진동을 완화하는 데 효과적인지 평가하는 것.
• 마찰이 있는 비선형 시스템에 대한 실용적 안정성 범위를 제공하는 것.

제안 방법

• 드릴링 파이프의 비틀림 동역학을 표현하기 위해 결합된 ODE/PDE 모델을 사용한다.
• 리만 좌표의 투영을 통해 상태를 확장하고 레지오르드 다항식 기저에 기반한다.
• 최근 시간 지연 시스템의 발전에 기반한 새로운 리아푸노프 함수를 구성한다.
• 선형화된 시스템에 대해 지수 안정성 조건을 도출하기 위해 선형 행렬 부등식(LMIs)을 활용한다.
• 고정된 집합 추정을 사용한 실용적 안정성 정리로 비선형 시스템으로 분석을 확장한다.
• 베셀 유사 적분 부등식과 상태 표현의 투영 기반 방법을 사용해 안정성 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PI 제어기가 마찰이 있는 드릴링 파이프의 무한차원 선형화 모델에서 지수 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 제안된 리아푸노프 함수 프레임워크는 결합된 ODE/PDE 시스템에 대해 효과적인 안정성 분석을 가능하게 하는가?
• RQ3 PI 제어기는 비선형 드릴링 파이프 시스템에서 스틱-슬립 진동을 어느 정도 억제할 수 있는가?
• RQ4 PI 제어 하에서 비선형 시스템의 실용적 안정성 범위는 무엇인가?
• RQ5 제어기 이득(kp, ki)은 스틱-슬립 진동의 진폭에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• LMI 기반 방법은 선형화된 드릴링 파이프 시스템에 대해 지수 안정성을 보장하며, 감쇠율 추정도 제공한다.
• 비선형 시스템의 경우 실용적 안정성이 입증되고 진동에 대한 경계가 제공되며, ki가 0.5에서 16으로 증가함에 따라 Xbound는 25에서 43으로 증가한다.
• 수치 시뮬레이션은 균형점은 안정화되지만 스틱-슬립 진동이 여전히 존재하고 PI 제어로는 약화되지 않음을 확인한다.
• 최소 Xbound(진동 경계)는 매우 낮은 kp 값에서 발생하여 kp를 증가시켜도 스틱-슬립 영향을 줄이지 못함을 시사한다.
• kp ≈ 2.1×10⁻³를 초과하면 LMI 조건이 비가능해지며, 이는 작은 시간 지연에 대한 내구성에 제한을 둔다.
• 레지오르드 투영 기반의 제안된 리아푸노프 함수는 전통적 방법이 실패하는 상황에서도 효과적인 안정성 분석을 가능하게 한다.