[논문 리뷰] Practical volume computation of structured convex bodies, and an application to modeling portfolio dependencies and financial crises

Ludovic Calès, Apostolos Chalkis외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 15.

Market Dynamics and Volatility인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 단체와 평행한 초평면 또는 공심 타원체의 교차부를 포함한 구조적 볼록체의 부피를 계산하기 위한 효율적인 알고리즘을 제시한다. 정확한 방법과 근사 방법을 모두 사용하며, 거부 샘플링, 히트-앤드-런을 활용한 마르코프 체인 몬테카를로, 최적화된 로렌스 부호 분해 방법 등이 포함되어 있다. 주요 기여는 포트폴리오 수익률-변동성 상관관계를 copula 모델링을 통해 유도한 새로운 금융위기 지표로, 실제 시장 데이터에서 역사적 위기를 높은 정확도로 성공적으로 식별한다.

ABSTRACT

We examine volume computation of general-dimensional polytopes and more general convex bodies, defined as the intersection of a simplex by a family of parallel hyperplanes, and another family of parallel hyperplanes or a family of concentric ellipsoids. Such convex bodies appear in modeling and predicting financial crises. The impact of crises on the economy (labor, income, etc.) makes its detection of prime interest. Certain features of dependencies in the markets clearly identify times of turmoil. We describe the relationship between asset characteristics by means of a copula; each characteristic is either a linear or quadratic form of the portfolio components, hence the copula can be constructed by computing volumes of convex bodies. We design and implement practical algorithms in the exact and approximate setting, we experimentally juxtapose them and study the tradeoff of exactness and accuracy for speed. We analyze the following methods in order of increasing generality: rejection sampling relying on uniformly sampling the simplex, which is the fastest approach, but inaccurate for small volumes; exact formulae based on the computation of integrals of probability distribution functions; an optimized Lawrence sign decomposition method, since the polytopes at hand are shown to be simple; Markov chain Monte Carlo algorithms using random walks based on the hit-and-run paradigm generalized to nonlinear convex bodies and relying on new methods for computing a ball enclosed; the latter is experimentally extended to non-convex bodies with very encouraging results. Our C++ software, based on CGAL and Eigen and available on github, is shown to be very effective in up to 100 dimensions. Our results offer novel, effective means of computing portfolio dependencies and an indicator of financial crises, which is shown to correctly identify past crises.

연구 동기 및 목표

• 금융 모델링에서 발생하는 구조적 볼록체의 부피 계산을 위한 실용적이고 확장 가능한 알고리즘을 개발한다.
• 포트폴리오 수익률과 변동성 간의 시간에 따라 변화하는 의존성을 볼록체 부피에서 유도된 copula를 사용해 모델링한다.
• 수익률-변동성 대각선을 따라 포트폴리오의 분포를 기반으로 한 금융위기 탐지 지표를 설계한다.
• 100차원까지의 고차원에서 정확도, 속도, 정확성 간의 상호 교환 관계를 다수의 계산 방법에 대해 평가한다.
• 제안된 지표를 실제 금융 데이터에 적용하고 기존의 위기 데이터베이스와 비교한다.

제안 방법

• 특히 작은 부피의 경우 정확도가 낮지만 빠른 부피 추정을 위해 단체 위의 거부 샘플링을 사용한다.
• 단일 초평면과의 교차부에 대해 누적분포함수를 기반으로 한 정확한 적분 공식을 적용한다.
• 평행한 초평면과의 교차로 형성된 간단하고 구조적인 다면체에 특화된 최적화된 로렌스 부호 분해 방법을 적용한다.
• 두 번째 순서 원형 프로그래밍을 활용해 내부 구를 계산하여 초기화하는 것을 보완한 일반화된 히트-앤드-런 랜덤 워크를 기반으로 한 마르코프 체인 몬테카를로를 구현한다.
• 유사한 기하 기법을 활용해 비볼록체로의 히트-앤드-런 접근법을 확장하여 유의미한 경험적 성과를 달성한다.
• CGAL과 Eigen을 사용한 C++ 소프트웨어 스택을 개발하여 GitHub에 오픈소스로 공개하며, 최대 100차원까지 정확하고 근사적인 부피 계산을 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 100차원까지의 고차원 공간에서 구조적 볼록체의 효율적이고 정확한 부피 계산이 가능할 수 있는가?
• RQ2 정확한 방법, 근사 방법, 샘플링 기반 방법 간의 성능, 정확도, 확장성 측면에서의 비교는 어떻게 이루어지는가?
• RQ3 포트폴리오 수익률과 변동성 제약 조건에서 유도된 볼록체 부피를 사용해 금융위기를 모델링하고 탐지할 수 있는가?
• RQ4 수익률-변동성 대각선을 따라 포트폴리오 분포를 기반으로 한 제안된 금융위기 지표가 실제 시장 데이터에서 역사적 위기를 정확히 식별할 수 있는가?
• RQ5 히트-앤드-런 MCMC 방법은 정확도를 유지하면서 비볼록체로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 소프트웨어 스택는 최대 100차원에서 실용적인 부피 계산을 달성하며, 다양한 방법에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 거부 샘플링은 가장 빠르지만 작은 부피의 경우 정확도가 가장 낮다; 단일 초평면 교차부의 경우 정확한 방법이 최적이다.
• 두 번째 순서 원형 프로그래밍을 통한 내부 구 계산을 통한 히트-앤드-런 MCMC 방법은 복잡한 비선형 볼록체에 대해서도 견고한 샘플링을 가능하게 한다.
• 수익률-하향 대각선 대비 상향 대각선 밴드에 대한 포트폴리오 질량 비율을 기반으로 한 금융위기 지표는 1990년에서 2008년 사이의 유럽의 다섯 가지 주요 위기를 정확히 식별했다. 이는 도트컴 버블과 서브프라임 위기 포함.
• 위기 기간 동안 이 지표는 60일 이상 1을 초과하는 값을 유지하며, 윈도우의 단기 자기상관성으로 인한 오진 탐지 문제를 피한다.
• 모멘텀 효과(60일 복리 수익률이 다음 60일 수익률을 예측함)는 총 10건의 사건에서 관찰되었으며 주로 1998–2004년 사이에 집중되어 있었고, 위기 기간과의 겹침은 최소였다 — 금융 분야에서의 새로운 경험적 발견.