[논문 리뷰] Precise rates in the law of the iterated logarithm

Zhang Li|ArXiv.org|2006. 10. 17.

Probability and Risk Models참고 문헌 6인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 이탈리안 반복 로그 법칙의 맥락에서 i.i.d. 랜덤 변수의 부분합과 최댓값의 꼬리 확률에 대한 정확한 渐近 비율을 확립한다. 강한 근사와 절단 기법을 사용하여, 최소한의 모멘트 조건 하에서 $σ\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon))$를 포함하는 가중치 합의 수렴 속도에 대한 정확한 상수를 도출하며, Gut과 Spätaru(2000)의 이전 결과를 일반화하고 정밀화한다. 주요 기여는 이러한 정확한 비율을 위한 날카운 모멘트 조건의 규명이며, 특히 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 조건의 최적성까지 포함한다. 결과는 평균이 0이고 분산이 유한한 일반적인 i.i.d. 수열에 대해 성립하며, 정확한 상수는 감마 함수와 $a_n(\epsilon)$의 수렴 속도에 따라 달라지는 지수 항을 포함한다. 논문은 모멘트 조건의 必要성도 증명하고 꼬리 조건의 날카움을 확립한다.

ABSTRACT

Let $X$, $X_1$, $X_2$, $...$ be i.i.d. random variables, and let $S_n=X_1+... + X_n$ be the partial sums and $M_n=\max_{k\le n}|S_k|$ be the maximum partial sums. We give the sufficient and necessary conditions for a kind of limit theorems to hold on the convergence rate of the tail probabilities of both $S_n$ and $M_n$. These results are related to the law of the iterated logarithm. The results of Gut and Spataru (2000) are special cases of ours.

연구 동기 및 목표

• 분포가 정규분포임을 가정할 때의 渐近 결과를 먼저 검증한 후, 근사 및 결합 논증을 통해 일반적인 i.i.d. 수열으로 확장한다.
• 가중치 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{("log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 가 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 일 때 $\Gamma(b+1/2)$, $\sqrt{1/\pi(a+1)}$, 및 $\exp(-2\tau\sqrt{1+a})$ 를 포함한 상수로 수렴함을 보이는 것이 핵심 기술적 단계이다.
• 모멘트 조건의 필요성을 반증을 통해 증명한다: 만약 $\mathbb{E}[X^2 (\log|X|)^a (\log\log|X|)^{b-1}] = \infty$ 이지만 비율 수렴 결과가 성립한다고 가정하면, 가중치 합의 수렴성과 모순된다.
• 조건 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 의 날카움을 반례를 구성하여 입증한다. 이 조건이 실패하면 비율 수렴 결과도 붕괴됨을 보였다.

제안 방법

• 논문은 부분합 과정 $S_n$ 과 최댓값 과정 $M_n$ 을 표준 브라운 운동 $W(t)$ 와 결합하는 강한 근사 기법을 사용하여, 비정규 분포 확률을 가우시안 과정의 확률로 대체한다.
• Feller(1945)와 Einmahl(1989)의 영향을 받은 절단 방법을 사용하여 i.i.d. 합성항의 꼬리 행동을 통제하며, $X$ 를 절단된 부분과 나머지 부분으로 분해한다.
• 분석은 먼저 정규분포 가정 하에서의 渐近 결과를 검증하는 데서 시작하며(정리 2.1), 이후 근사 및 결합 논증을 통해 일반적인 i.i.d. 수열으로 확장한다.
• 핵심 기술적 단계는 가중치 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{("log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 가 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 일 때 $\Gamma(b+1/2)$, $\sqrt{1/\pi(a+1)}$, 및 $\exp(-2\tau\sqrt{1+a})$ 를 포함한 상수로 수렴함을 보이는 것이다.
• 모멘트 조건의 필요성은 반증을 통해 증명한다: 만약 비율 결과가 성립하지만 $\mathbb{E}[X^2 (\log|X|)^a (\log\log|X|)^{b-1}] = \infty$ 이면, 가중치 합의 수렴성과 모순된다.
• 조건 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 의 날카움은 반례를 구성하여 입증한다. 이 조건이 실패하는 경우 비율 결과가 붕괴됨을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 모멘트 조건 하에서 $\mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 의 정확한 渐近 비율은 무엇인가? 이는 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 일 때 성립하며, $a > -1$, $b > -1/2$, 및 $a_n(\epsilon)\log\log n \to \tau$ 이다.
• RQ2 비율 상수는 $a$, $b$, 및 $a_n(\epsilon)\log\log n$ 의 극한 $\tau$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 조건 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 는 정확한 渐近 분석이 성립하기 위해 필수적이고 날카운가?
• RQ4 $\epsilon \downarrow 0$ 일 때의 정확한 비율은 무엇이며, 이는 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 경우와 스케일링 및 상수의 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ5 가중치 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{( \log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 가 유한하고 0이 아닌 극한으로 수렴하기 위한 모멘트 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 일 때 가중치 합 $\sum_{n=1}^\infty \frac{( \log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 의 극한은 정확히 $2\sqrt{\frac{1}{\pi(a+1)}} \Gamma(b+1/2) \exp(-2\tau\sqrt{1+a})$ 이며, 여기서 $\tau = \lim_{n \to \infty} a_n(\epsilon) \log\log n$ 이다.
• 합의 절댓값에 대해서는 위의 값의 반인 $\sqrt{\frac{1}{\pi(a+1)}} \Gamma(b+1/2) \exp(-2\tau\sqrt{1+a})$ 가 극한이 된다. 이는 최댓값과 절댓값 합의 꼬리 행동이 다르다는 사실을 반영한다.
• 조건 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 는 날카운다: 이 조건이 실패하면 비율 결과가 더 이상 성립하지 않으며, 반례를 구성하여 이를 입증하였다.
• 비율 결과가 성립하기 위한 필수 및 필요조건은 $\mathbb{E}[X] = 0$, $\mathbb{E}[X^2] = \sigma^2 < \infty$, 및 $\mathbb{E}[X^2 (\log|X|)^a (\log\log|X|)^{b-1}] < \infty$ 이다. 첫 두 조건은 이탈리안 반복 로그 법칙이 적용되기 위해 필수적이다.
• $\epsilon \downarrow 0$ 인 경우, $\epsilon^{2(b+1)} \sum_{n=1}^\infty \frac{( \log\log n)^b}{n\log n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n))$ 의 극한은 $\frac{2}{(b+1)\sqrt{\pi}} \Gamma(b+3/2) \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2b+2}}$ 이며, 이는 무한 급수를 포함한 상수이다.
• $\epsilon \downarrow 0$ 인 경우 $|S_n|$ 에 대한 결과는 위의 값의 반인 $\frac{1}{(b+1)\sqrt{\pi}} \Gamma(b+3/2)$ 이다. 다시 한번 최댓값과 합의 꼬리 행동의 차이를 반영한다.