[논문 리뷰] Preconditioning for a Variational Quantum Linear Solver

Aruto Hosaka, Koichi Yanagisawa외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 NISQ 장치에서 변분 양자 선형 해법기(VQLS)의 성능을 향상시키기 위해 비완전한 LU(ILU) 분해를 통한 전처리를 도입한다. 희소 선형 시스템의 스펙트럼 성질을 개선함으로써, 10개의 랜덤한 $128\times128$ 희소 행렬에 대해 필요한 안사츠 깊이를 최대 50% 감소시키며, 상태 준비의 양자 회로 깊이나 게이트 수를 늘리지 않고도 수렴성과 노이즈 내성 향상을 크게 개선한다.

ABSTRACT

We apply preconditioning, which is widely used in classical solvers for linear systems $A extbf{x}= extbf{b}$, to the variational quantum linear solver. By utilizing incomplete LU factorization as a preconditioner for linear equations formed by $128 imes128$ random sparse matrices, we numerically demonstrate a notable reduction in the required ansatz depth, demonstrating that preconditioning is useful for quantum algorithms. This reduction in circuit depth is crucial to improving the efficiency and accuracy of Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) algorithms. Our findings suggest that combining classical computing techniques, such as preconditioning, with quantum algorithms can significantly enhance the performance of NISQ algorithms.

연구 동기 및 목표

• 변분 양자 선형 해법기(VQLS)에서 높은 안사츠 깊이와 평평한 골짜기 문제를 해결하기 위해 고전적 전처리 기법을 활용하고자 한다.
• 전처리가 변량 양자 알고리즘에서 정확한 해를 구하기 위해 필요한 양자 회로 깊이를 줄일 수 있는지 조사하고자 한다.
• 전처리가 VQLS에서 선형 시스템의 수렴성과 스펙트럼 성질에 미치는 영향을 평가하고자 한다.
• 하이브리드 양자-고전적 해법기에서 고전적 계산 비용과 양자 자원 감소 사이의 균형을 이루고자 한다.

제안 방법

• 희소 행렬의 LU 분해를 근사하기 위해 비완전한 LU(ILU) 분해를 적용하여 원래 행렬의 비제로 원소만 유지함으로써 희소성 유지.
• ILU 전처리자 $M = \tilde{L}\tilde{U}$ 를 사용해 선형 시스템을 $M^{-1}A\mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{b}$ 로 변환하여 조건수와 스펙트럼 분포 향상.
• 하드웨어 효율적인 안사츠를 사용하여 RY와 CNOT 게이트를 번갈아가며 배치하고, 회전 각도 $\theta$ 를 고전적 최적화로 조정.
• 행렬 역행렬을 통한 정확한 해를 얻어 잔차 오차와 비용 함수 최소화를 통해 성능 평가.
• 다양한 안사츠 깊이(1–20)에서 10개의 랜덤하게 생성된 $128\times128$ 희소 행렬에 대해 전처리 유무에 따라 VQLS 성능 비교.
• 전처리 이전과 이후의 특이값 분포 분석을 통해 스펙트럼 조건수와 양자 얽힘 감소 평가.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전처리 기법이 희소 선형 시스템의 VQLS에서 필요한 안사츠 깊이를 줄일 수 있는가?
• RQ2 ILU 전처리는 VQLS 비용 함수와 잔차 오차의 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 전처리가 특이값 분포를 더 균일하게 만들어 행렬의 조건수를 향상시키는가?
• RQ4 VQLS에서 고전적 전처리 비용과 양자 회로 깊이 감소 사이의 상충 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 10개의 테스트 케이스에서 전처리로 인해 필요한 안사츠 깊이가 최대 50% 감소하였으며, 깊이 20에서 수렴성 향상이 일관되게 관찰되었다.
• 10,000회 최적화 반복 후 전처리가 적용된 VQLS는 비전처리 버전보다 유의미하게 낮은 잔차 오차를 기록하였다.
• 전처리 후 특이값 분포가 더 균일해져 스펙트럼 조건수 향상과 행렬 조건수 감소를 시사하였다.
• 특히 낮은 회로 깊이에서 전처리 적용 시 평균 비용 함수가 더 빠르게 수렴하고 더 낮은 값으로 수렴하였다.
• 전처리로 행렬이 항등행렬에 더 가까워져 안사츠가 요구하는 얽힘 수준이 감소하여 양자 회로의 표현력 부담이 경감되었다.
• 모든 10개의 랜덤하게 생성된 희소 행렬에 대해 일관된 성능 향상이 관찰되어 이 방법의 강건성을 입증하였다.