[논문 리뷰] Preconditioning for the Geometric Transportation Problem

Andrey Boris Khesin, Aleksandar Nikolov외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Optimization and Mathematical Programming참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정된 차원에서 기하학적 운반 문제에 대해 처음으로 거의 선형 시간 (1+ε)-근사 알고리즘을 제시한다. 일반화된 조건화와 기하학적 희소화를 결합하여 문제를 희소 최소비용류 문제로 축소한다. 알고리즘은 n에 대해 거의 선형이고 ε⁻¹ 및 log(total supply)에 대해 다항식 시간 내에 실행되며, 이는 이전 방법에 비해 상당한 향상이다.

ABSTRACT

In the geometric transportation problem, we are given a collection of points $P$ in $d$-dimensional Euclidean space, and each point is given a supply of $μ(p)$ units of mass, where $μ(p)$ could be a positive or a negative integer, and the total sum of the supplies is $0$. The goal is to find a flow (called a transportation map) that transports $μ(p)$ units from any point $p$ with $μ(p) > 0$, and transports $-μ(p)$ units into any point $p$ with $μ(p) < 0$. Moreover, the flow should minimize the total distance traveled by the transported mass. The optimal value is known as the transportation cost, or the Earth Mover's Distance (from the points with positive supply to those with negative supply). This problem has been widely studied in many fields of computer science: from theoretical work in computational geometry, to applications in computer vision, graphics, and machine learning. In this work we study approximation algorithms for the geometric transportation problem. We give an algorithm which, for any fixed dimension $d$, finds a $(1+\varepsilon)$-approximate transportation map in time nearly-linear in $n$, and polynomial in $\varepsilon^{-1}$ and in the logarithm of the total supply. This is the first approximation scheme for the problem whose running time depends on $n$ as $n\cdot \mathrm{polylog}(n)$. Our techniques combine the generalized preconditioning framework of Sherman, which is grounded in continuous optimization, with simple geometric arguments to first reduce the problem to a minimum cost flow problem on a sparse graph, and then to design a good preconditioner for this latter problem.

연구 동기 및 목표

• d차원 공간에서 지구 이동 거리(Earth Mover's Distance)를 최소화하는 기하학적 운반 문제를 위한 빠른 근사 알고리즘을 개발하기 위해.
• 이전의 O(n².⁵) 및 O(n²) 알고리즘에 비해 점의 수 n에 대해 거의 선형 시간 복잡도를 달성하기 위해.
• 특수 케이스에 국한된 이전 결과를 넘어서 일반 정수 공급량에 대해 작동하는 방법을 설계하기 위해.
• ε⁻¹과 총 공급량의 로그에 대해 효율성이 잘 유지되어 기계학습 및 컴퓨터 비전 분야에서 실용적으로 사용할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 거리가 (1+ε) 요소 이내로 유지되는 잘 분리된 쌍 분해(WSPDs)를 사용하여 기하학적 운반 문제를 희소 그래프 상의 최소비용류 문제로 축소한다.
• 연속 최적화 기법을 활용하여 효율적으로 최소비용류 문제를 해결하기 위해 셔먼의 일반화된 조건화 프레임워크를 적용한다.
• 유지보수된 유량의 균형과 비용을 유지하면서도 유량 지지 집합의 크기를 줄이기 위해 새로운 취소 절차(Cancellation Procedure)를 도입한다. 이는 출력이 유효한 운반 맵임을 보장한다.
• 유량이 계층적 수준별로 가장 세밀한 수준에서 가장 거친 수준으로 순차적으로 처리되어 총 실행 시간이 유한하게 유지된다.
• 유량은 인접 리스트를 사용한 희소 표현 방식으로 유지되어, 취소 절차의 각 반복에서 상수 시간 연산이 가능하다.
• WSPD 희소화와 계층적 유량 보정을 결합함으로써 거의 선형 총 실행 시간을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 공급 함수에 대해 기하학적 운반 문제에 대해 (1+ε)-근사값을 거의 선형 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 연속 최적화에서 유도된 조건화 기법을 기하학적 구조를 가진 이산 기하학적 유량 문제에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ3 비제로 유량 간선의 수를 줄이면서도 비용 한계를 유지하고 유효한 운반 맵을 유지하는 것이 가능한가?
• RQ4 기하학적 운반 문제에서 기반 그래프의 희소성과 근사 품질 사이의 최적의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ5 실행 시간을 n에 대해 거의 선형으로 유지하면서도 ε⁻¹과 log(total supply)에 대해 다항식 시간 복잡도를 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 고정된 d에 대해 n에 대해 거의 선형 시간인 O(nε⁻d log(∆) + ε⁻²d log(∆)) 내에 기하학적 운반 문제에 대해 (1+ε)-근사값을 달성한다.
• 실행 시간은 ε⁻¹에 대해 다항식적으로 의존하고 총 공급량의 로그에 대해 로그적으로 의존하여, 대규모 인스턴스에 대해서도 효율적이다.
• 희소 그래프 상의 유량으로부터 유효한 운반 맵을 구성하여, 출력이 모든 공급 및 수요 제약 조건을 충족함을 보장한다.
• 취소 절차는 비용 한계와 유량 균형을 유지하면서도 유량 지지 집합 내의 비제로 간선 수를 줄인다.
• 넷 포ints의 계층적 처리 방식은 총 실행 시간이 제시된 거의 선형 표현식으로 유한하게 유지됨을 보장한다.
• 이전 알고리즘들이 n에 대해 더 높은 다항식 의존도를 가지거나 단위 공급량에 국한된 점을 고려할 때, 이 방법은 그에 비해 향상된 성능을 보인다.