[논문 리뷰] Preconditioning of a hybridized discontinuous Galerkin finite element method for the Stokes equations

Sander Rhebergen, Garth N. Wells|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 15.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 26인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 스토크스 방정식에 대해 하이브리드 불연속 갈레르킨(HDG) 유한요소 방법을 적용할 때, 정적 축소(static condensation)를 활용하여 전역 시스템 크기를 줄이는 최적의 조건부 행렬을 제시한다. 압력 슈어 컴플리먼트와 질량 행렬 사이의 스펙트럼 동치를 증명함으로써, 메시 크기와 무관한 반복 횟수를 보장하는 블록 대각형 및 블록 대칭 가우스-자이델 조건부 행렬을 개발하였다. 이는 2차원 및 3차원에서 대규모 문제에 대한 확장성을 보장한다.

ABSTRACT

We present optimal preconditioners for a recently introduced hybridized discontinuous Galerkin finite element discretization of the Stokes equations. Typical of hybridized discontinuous Galerkin methods, the method has degrees-of-freedom that can be eliminated locally (cell-wise), thereby significantly reducing the size of the global problem. Although the linear system becomes more complex to analyze after static condensation of these element degrees-of-freedom, the pressure Schur complement of the original and reduced problem are the same. Using this fact, we prove spectral equivalence of this Schur complement to two simple matrices, which is then used to formulate optimal preconditioners for the statically condensed problem. Numerical simulations in two and three spatial dimensions demonstrate the good performance of the proposed preconditioners.

연구 동기 및 목표

• 하이브리드 불연속 갈레르킨(HDG) 방법에 의한 스토크스 방정식 이산화에서 발생하는 정적 축소된 선형 시스템을 위한 효율적인 반복 해법을 개발하기 위해.
• 메시 크기와 무관한 성능을 보장하는 조건부 행렬을 구성함으로써 해법 과정의 확장성을 확보하기 위해.
• 지역 질량 보존, 점별 발산 자유 속도, 에너지 안정성과 같은 HDG 방법의 핵심 성질을 유지하면서도, 압축된 시스템의 효율적 해법을 가능하게 하기 위해.
• 다양한 다항식 차수와 메시 유형(단체, 사각형, 육각형)에서 최적 수렴 속도를 유지하는 조건부 행렬의 분석 및 수치적 검증을 수행하기 위해.

제안 방법

• 셀 단위의 속도 자유도를 제거하기 위해 정적 축기를 적용하여 전역 문제 크기를 줄이고, 압력 슈어 컴플리먼트를 유지한다.
• 이전 분석에서 유도된 유계성과 inf-sup 안정성 결과를 활용하여, 압력 슈어 컴플리먼트와 이산 질량 행렬 사이의 스펙트럼 동치를 증명한다.
• 스펙트럼 동치 행렬 C(슈어 컴플리먼트에서 유도됨)를 기반으로 한 하나, 압력 질량 행렬 M을 기반으로 한 하나의 블록 대각형 조건부 행렬을 구성한다.
• 시스템 행렬의 구조와 대수적 다중 격자(AMG)를 통한 근사 역행렬을 활용하여 블록 대칭 가우스-자이델 조건부 행렬을 개발한다.
• V-사이클을 사용한 AMG를 통해 역행렬 연산자(예: ¯R−1, M−1, C−1)를 근사하고, 사전 및 사후 스무스닝 단계에서 가우스-자이델 스무스너를 적용한다.
• MFEM에서 구현하고 PETSc 해법기 및 BoomerAMG를 사용한 대수적 다중 격자 기반으로, 비정렬 및 정렬 메시에 대한 수치 테스트를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적 축소된 HDG 시스템의 최적 조건부 행렬을 구성할 수 있는가? 이는 메시 크기와 무관한 수렴을 보장하는가?
• RQ2 압축된 시스템의 슈어 컴플리먼트가 여전히 질량 행렬과 스펙트럼 동치인가?
• RQ3 다양한 메시 유형과 다항식 차수에서 블록 대각형 및 블록 대칭 가우스-자이델 조건부 행렬의 성능은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 동일한 조건부 행렬을 사용할 때, 우측 조건부 행렬을 적용한 GMRES가 좌측 조건부 행렬을 적용한 MINRES보다 반복 횟수 측면에서 더 우수한가?
• RQ5 제안된 조건부 행렬은 고차 다항식 근사 및 복잡한 기하 구조(예: 뚜껑이 닫힌 캐비티 흐름)를 가진 2D 및 3D 문제에서도 강건성을 유지하는가?

주요 결과

• 정적 축소된 HDG 시스템의 슈어 컴플리먼트는 이산 압력 질량 행렬과 스펙트럼 동치이며, 이는 기존의 조건부 행렬 이론을 적용할 수 있음을 의미한다.
• 스펙트럼 동치 행렬 C를 기반으로 한 블록 대각형 조건부 행렬은 메시 크기와 무관한 수렴을 달성하며, 2D 및 3D 모두에서 메시 세분화 수준에 관계없이 반복 횟수가 안정된다.
• 3D 단체 메시에서 DOFs가 1,789,952인 경우, ¯PC 조건부 행렬은 잔차 허용오차 10−8에 도달하기 위해 단 96회의 MINRES 반복만을 요구하였다.
• 동일한 3D 단체 메시에서, 오른쪽 조건부 행렬을 적용한 GMRES는 좌측 조건부 행렬을 적용한 MINRES의 153회에서 37회로 반복 횟수를 감소시켜 뚜렷한 성능 향상을 보였다.
• 블록 대칭 가우스-자이델 조건부 행렬 ¯PSGS_C는 가장 큰 단체 메시에서 2D에서는 102회, 3D에서는 153회 반복을 기록하여 문제 크기에 관계없이 강건성을 입증하였다.
• 압력 질량 행렬 M을 기반으로 한 조건부 행렬은 C를 기반으로 한 것보다 성능이 열 劣하였고, C를 사용한 대비 대칭 가우스-자이델 변형은 M을 사용할 때와 비교해 특별한 이점이 없었다.