[논문 리뷰] Predicativity and parametric polymorphism of Brouwerian implication

Mark van Atten|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 19.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 48인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 함수의 종류에 대한 매개변수 다형성에 의해 브라우어의 직관주의 함의가 예측가능하다고 주장한다. 이는 직관주의 논리에서 흔히 제기되는 비예측가능성에 대한 비판에 대응한다. 논문은 브라우어의 함의에 대한 기능적 해석이 전적으로 완성된 증명의 총합에 대한 기술이 아니라, 비판적으로 주어진 구성에 의존함으로써 악순환을 피함을 보여준다.

ABSTRACT

A common objection to the definition of intuitionistic implication in the Proof Interpretation is that it is impredicative. I discuss the history of that objection, argue that in Brouwer's writings predicativity of implication is ensured through parametric polymorphism of functions on species, and compare this construal with the alternative approaches to predicative implication of Goodman, Dummett, Prawitz, and Martin-Löf.

연구 동기 및 목표

• 증명 해석에서 직관주의 함의가 비예측가능하다는 오랫동안 지속된 비판에 대응하기 위해.
• 브라우어의 함의 개념이 종류에 대한 기능의 매개변수 다형성에 의해 악순환을 피함을 보여주기 위해.
• 굿먼, 데임넷, 프라위츠, 마르틴-뢰프의 다른 예측가능한 계획과 브라우어의 접근을 대조하기 위해.
• 직관주의 수학에서 증명과 함수의 존재론적 지위를 명확히 하여, 그들이 총합적이지 않고 구성적인 성격을 지닌다는 것을 강조하기 위해.
• 함의의 정의가 사전에 존재하는 증명의 총합이 필요하지 않다는 점을 보여줌으로써 증명 해석의 일관성을 방어하기 위해.

제안 방법

• 완성된 증명의 총합에 의존하지 않는 브라우어의 표준적 증명 개념과 그 역할을 분석한다.
• 종류에 대한 기능의 매개변수 다형성 개념을 적용하여, 이러한 기능이 구성적으로 예측가능하다는 것을 보여준다.
• 바르 정리와 그 표준 형태가 직관적으로 주어진, 언어적 요소가 아닌 구성의 증거임을 검토한다.
• 브라우어와 마르틴-뢰프의 기능적 해석을 컷 제거에 의존하는 의미론적 접근(데임넷, 프라위츠)과 대조한다.
• 브라우어의 저술을 역사적이고 철학적으로 분석하여, 직관주의 함수의 존재론적 기초를 재구성한다.
• 직관주의에서 증명의 고정된 총합이 없기 때문에, 비예측가능 정의가 정의하는 악순환을 방지할 수 있음을 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증명 해석에서 직관주의 함의의 정의가 일반적으로 주장하는 바와 같이 악순환적인 비예측가능성에 걸려 있는가?
• RQ2 브라우어가 종류에 대한 매개변수 다형성을 사용함으로써 함의의 예측가능성을 어떻게 보장하는가?
• RQ3 브라우어의 표준적 증명 개념은 증명의 총합에 의존하지 않는 방식으로 어떻게 작용하는가?
• RQ4 브라우어의 기능적 해석은 컷 제거에 기반한 의미론적 계획과 어떻게 다를까?
• RQ5 성장하는 증명의 우주라는 직관주의적 개념은 일관된 함의 정의와 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?

주요 결과

• 브라우어의 함의 정의는 증명의 총합에 대한 기술이 아니라 종류에 대한 기능의 매개변수 다형성에 의존하므로, 악순환적인 의미에서 비예측가능하지 않다.
• 바르 정리의 표준 형태는 가능한 모든 증명 양식을 파악하는 데서 비롯되지 않고, 관련 객체의 내재적 구조에서 유래된다.
• 직관주의에서의 증명 개념은 고정된 총합이 아니라 성장하는, 개방적인 집합이므로, 비예측가능 정의가 정의하는 악순환을 방지한다.
• 브라우어와 마르틴-뢰프의 기능적 해석은 컷 제거에 기반한 의미론적 접근보다 원래의 직관주의적 구성 과정을 더 잘 반영한다.
• 함의에 대한 증명 해석의 조건 — A의 증명을 B의 증명으로 변환하는 구성 — 은 '구성'이 매개변수 다형성에 의해 정의된 함수로 이해될 경우 일관성이 있다.
• 브라우어의 멱집합 공리의 기각과 수학적 구조의 직관적 주어름을 강조함으로써, 함의의 예측가능한 해석을 뒷받침한다.