[논문 리뷰] Predictable trajectories of the reduced Collatz iteration and a possible pathway to the proof of the Collatz conjecture (Version 2)

Leonel da Silveira Lobo Sternberg|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 20.

Benford’s Law and Fraud Detection인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 축소된 콜라츠 반복에서 예측 가능한 궤적을 분석하여 콜라츠 추측을 증명하는 길을 제시한다. 여기서 수의 루트가 홀수인지 짝수인지에 따라 반복을 나누어 분석하며, 홀수 루트 반복은 값의 증가를 유도하지만 그 증가폭이 유한함을 보이고, 짝수 루트 반복은 값을 감소시킴을 보여, 수열이 무한히 커지지 않음을 시사한다. 또한 비자명한 순환의 가능성은 타당한 값의 간격이 좁아짐에 따라 낮아지므로, 추측의 타당성을 뒷받침한다.

ABSTRACT

I show here that there are three different kinds of iterations for the reduced Collatz algorithm; depending on whether the root of the number is odd or even. There is only one kind of iteration if the root is odd and two kinds if the root is even. I also show that iterations on numbers with odd roots will cause an increase in value and eventually lead to an even rooted number. The iterations on even rooted numbers will subsequently cause a decrease in values. Because increase in values during the odd root iterations are bounded, I conclude that the Collatz iteration cannot veer to infinity. Since the sequence generated by the Collatz iteration is infinite and the values of the numbers do not veer to infinity it must either cycle and/or converge. I postulate that any cycling must occur with alternating types of iterations: e.g. odd rooted iterations which cause the values of the numbers to increase followed by even rooted iterations which causes the values to decrease. I show here that for simpler types of cycles, valid values of odd rooted or even rooted numbers are only found in a narrow gap which closes as the number of iterations increase. I further generalize to all types of odd-even and even-odd iterations. Given that previous work has shown that only very large non-trivial cycles are feasible during the Collatz iteration and this study shows the low probability of large simple cycles, leads us to the conclusion most likely cycles other than the trivial cycle are not possible during the Collatz iteration.

연구 동기 및 목표

• 수의 루트의 홀짝성(홀수 또는 짝수)에 따라 축소된 콜라츠 반복의 행동을 분석하기.
• 홀수 루트 반복은 값의 증가가 유한함을 보이고, 짝수 루트 반복은 값의 감소를 유도함을 입증하기.
• 값이 무한히 커지지 않고 제약을 받기 때문에, 수열은 수렴하거나 순환할 수밖에 없다는 것을 주장하기.
• 특히 번갈아가며 홀수-짝수 루트 단계를 거치는 순환을 포함한 비자명한 순환의 존재 가능성에 대해 조사하기.
• 간단한 순환의 경우, 반복 횟수가 증가함에 따라 가능한 값의 집합이 크게 좁아짐을 보여, 큰 비자명한 순환의 존재 가능성을 낮추기.

제안 방법

• 수의 루트가 홀수인지 짝수인지에 따라 축소된 콜라츠 반복을 세 종류로 분류: 홀수 루트에 대한 하나, 짝수 루트에 대한 둘.
• 홀수 루트 반복 중 값의 변화를 모델링하여, 곱셈 및 덧셈 패tern에 기인한 유한한 증가를 증명하기.
• 모듈로 산술과 2로 반복 나누기 방법을 사용해 짝수 루트 반복 중 값 감소를 분석하기.
• 간격 분석을 통해 순환 형성에 가능한 값의 범위를 평가하고, 반복 횟수가 많아질수록 가능 구간이 수축됨을 보여주기.
• 가능한 순환에 포함되는 홀수-짝수 및 짝수-홀수 반복 조합의 모든 조합에 대해 일반화된 결과 도출하기.
• 유한한 증가와 수축하는 순환 가능성의 조합을 통해 비자명한 순환의 존재를 반박하는 논증 수행하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 루트와 짝수 루트를 가진 수에 대해 축소된 콜라츠 반복이 보이는 동적 행동은 각각 어떻게 다를까?
• RQ2 홀수 루트 반복 중 값의 증가폭은 유한한가? 이는 발산 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 짝수 루트 반복은 수열의 값을 어떻게 영향을 주며, 수렴 또는 순환을 보장할 수 있는가?
• RQ4 특히 번갈아가며 홀수-짝수 루트 단계를 거치는 순환을 포함한 비자명한 순환 존재에 대한 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 반복 횟수가 증가함에 따라 순환 형성에 가능한 값의 범위는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 홀수 루트 콜라츠 반복은 수의 값을 일관되게 증가시키지만, 그 증가폭은 유한하고 예측 가능하다.
• 짝수 루트 반복은 반복적인 2로의 나누기를 통해 체계적인 값 감소를 유도한다.
• 유한한 증가와 지속적인 감소의 조합은 콜라츠 수열이 무한히 커지지 않음을 시사한다.
• 간단한 순환의 경우, 홀수 또는 짝수 루트 수에 대해 가능한 값의 집합은 좁은 구간 내에 있으며, 반복 횟수가 증가함에 따라 점점 수축한다.
• 반복 횟수가 많아질수록 가능한 값의 간격이 좁아짐에 따라 큰 비자명한 순환의 존재 가능성이 크게 감소한다.
• 분석 결과는 오직 자명한 순환(1 → 4 → 2 → 1)만 존재할 가능성이 높다는 결론을 뒷받침하며, 이는 콜라츠 추측이 매우 가능성 높다는 것을 시사한다.