[논문 리뷰] Predicting parameters for the Quantum Approximate Optimization Algorithm for MAX-CUT from the infinite-size limit

Sami Boulebnane, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 무작위 에르되시-레니 그래프에서 MAX-CUT의 최적 QAOA 파라미터를 예측하기 위한 이론적 프레임워크를 개발하며, 무한대 크기 근사에서 분석함으로써 MAX-CUT과 셰링턴-키르크패트릭(SK) 모델 간의 사상 관계를 수립한다. 큰 n 근사에서 QAOA 에너지에 대한 해석적으로 다룰 수 있는 표현식을 유도하고 수치적으로 검증하여, SK 모델에서 유도된 파라미터가 작은 유한한 사례로도 잘 일반화됨을 보여준다.

ABSTRACT

Combinatorial optimization is regarded as a potentially promising application of near and long-term quantum computers. The best-known heuristic quantum algorithm for combinatorial optimization on gate-based devices, the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA), has been the subject of many theoretical and empirical studies. Unfortunately, its application to specific combinatorial optimization problems poses several difficulties: among these, few performance guarantees are known, and the variational nature of the algorithm makes it necessary to classically optimize a number of parameters. In this work, we partially address these issues for a specific combinatorial optimization problem: diluted spin models, with MAX-CUT as a notable special case. Specifically, generalizing the analysis of the Sherrington-Kirkpatrick model by Farhi et al., we establish an explicit algorithm to evaluate the performance of QAOA on MAX-CUT applied to random Erdos-Renyi graphs of expected degree $d$ for an arbitrary constant number of layers $p$ and as the problem size tends to infinity. This analysis yields an explicit mapping between QAOA parameters for MAX-CUT on Erdos-Renyi graphs of expected degree $d$, in the limit $d o \infty$, and the Sherrington-Kirkpatrick model, and gives good QAOA variational parameters for MAX-CUT applied to Erdos-Renyi graphs. We then partially generalize the latter analysis to graphs with a degree distribution rather than a single degree $d$, and finally to diluted spin-models with $D$-body interactions ($D \geq 3$). We validate our results with numerical experiments suggesting they may have a larger reach than rigorously established; among other things, our algorithms provided good initial, if not nearly optimal, variational parameters for very small problem instances where the infinite-size limit assumption is clearly violated.

연구 동기 및 목표

• 조합 최적화 문제에서 QAOA의 파라미터 최적화 과제를 해결하기 위해 해석적으로 예측 가능한 初기 파라미터를 유도함.
• 파리 등이 SK 모델에 대해 수행한 분석을 희박한 에르되시-레니 그래프와 더 일반적인 무작위 그래프 집합으로 확장함.
• 희박한 그래프에서 MAX-CUT에 대한 최적 QAOA 파라미터와 무한대 크기 근사에서의 SK 모델 파라미터 간의 사상 관계를 제공함.
• D체계 상호작용과 비균일도 분포를 가진 희박한 스핀 모델으로 결과를 일반화함.
• 유한한 크기의 사례에서 이론적 예측을 수치 실험을 통해 검증하여 유한성 효과가 있음에도 불구하고 뛰어난 안정성을 입증함.

제안 방법

• 평균 차수 d가 일정한 에르되시-레니 무작위 그래프의 무한대 크기 근사에서 QAOA 에너지에 대한 정확한 표현식을 유도함.
• 에르되시-레니 그래프에서 MAX-CUT에 대한 QAOA 파라미터와 d→∞ 근사에서의 SK 모델 간의 수학적 사상 관계를 수립함.
• 모멘트 기반 분석과 생성함수를 사용하여 희박한 스핀 모델과 D체계 상호작용에 대한 QAOA 기대값을 계산함.
• 최대 p=3 층까지의 유한한 SK 모델 사례에서 QAOA 에너지를 추정하기 위한 몬테카를로 알고리즘을 개발함.
• 유한한 그래프에서의 고전적 최적화 루프에 무한대 크기 근사에서 유도된 파라미터 예측치를 초기 추측값으로 적용함.
• 에르되시-레니 및 창-루 무작위 그래프에서의 수치 실험을 통해 예측된 파라미터와 최적화된 파라미터를 비교함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박한 에르되시-레니 그래프에서 MAX-CUT에 대한 최적 QAOA 파라미터는 무한대 크기 근사에서 해석적으로 예측할 수 있는가?
• RQ2 큰 n 근사에서 MAX-CUT에 대한 QAOA 성능은 어떤 방식으로 SK 모델 성능과 관련이 있는가?
• RQ3 SK 모델에서 유도된 파라미터는 유한하고 희박한 MAX-CUT 사례로 얼마나 잘 일반화되는가?
• RQ4 도수 분포와 D체계 상호작용은 무한대 크기 영역에서 QAOA 파라미터 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 p≤3 인 유한한 SK 모델 사례에서 QAOA 에너지를 효율적으로 추정할 수 있는 몬테카를로 알고리즘이 가능한가?

주요 결과

• 무한대 크기 근사에서 에르되시-레니 그래프에 대한 QAOA 에너지에 대한 정확한 표현식을 도출하여 파라미터의 해석적 최적화를 가능하게 하였다.
• 에르되시-레니 그래프에서 MAX-CUT에 대한 최적 QAOA 파라미터와 d→∞ 근사에서의 SK 모델 간의 직접적인 사상 관계를 수립하였다.
• 수치 실험 결과, 무한대 크기 근사에서 유도된 파라미터 예측치가 n이 10조 정도로 작은 유한한 사례에서도 좋은 초기 추측값을 제공함을 확인하였다.
• 이질적인 기대 도수를 가진 창-루 그래프에서는 최적 QAOA 파라미터가 도수 분포에 따라 미미하게 변동함을 관측하여 안정성을 시사하였다.
• β 및 γ 각도를 √d로 재스케일링함으로써 다양한 평균 차수에서 일관성을 유지함을 확인하여 파라미터 사상의 보편성을 뒷받침하였다.
• p≤3 인 유한한 SK 모델 사례에서 QAOA 에너지를 추정하는 몬테카를로 알고리즘이 유한한 분산을 가지며, 이론적 예측의 효율적 검증을 가능하게 하였다.