[논문 리뷰] Pregeometric Spaces from Wolfram Model Rewriting Systems as Homotopy Types

Xerxes D. Arsiwalla, Jonathan Gorard|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 월프럼 모델의 사전기하학적 공간이 호모토피 유형으로 형식화된 비결정성 있는 재작성 체계에서 유래된다고 제안한다. 여기서 고차 범주론적 구조—특히 ∞-군오이드와 (∞,1)-토이드—는 기하학을 함의적으로 표현한다. 다중경로 재작성 체계를 유형 이론적 구성으로 모델링함으로써, 저자들은 공간적이고 위상수학적 구조가 배경 기하학을 전제로 하지 않고 순수히 이산적이고 문법적인 규칙에서 함의적으로 유도된다고 보여준다.

ABSTRACT

How do spaces emerge from pregeometric discrete building blocks governed by computational rules? To address this, we investigate non-deterministic rewriting systems (multiway systems) of the Wolfram model. We express these rewriting systems as homotopy types. Using this new formulation, we outline how spatial structures can be functorially inherited from pregeometric type-theoretic constructions. We show how higher homotopy types are constructed from rewriting rules. These correspond to morphisms of an $n$-fold category. Subsequently, the $n \ o \\infty$ limit of the Wolfram model rulial multiway system is identified as an $\\infty$-groupoid, with the latter being relevant given Grothendieck's homotopy hypothesis. We then go on to show how this construction extends to the classifying space of rulial multiway systems, which forms a multiverse of multiway systems and carries the formal structure of an ${\\left(\\infty, 1\ ight)}$-topos. This correspondence to higher categorical structures offers a new way to understand how spaces relevant to physics may arise from pregeometric combinatorial models. A key issue we have addressed here is to relate abstract non-deterministic rewriting systems to higher homotopy spaces. A consequence of constructing spaces and geometry synthetically is that it eliminates ad hoc assumptions about geometric attributes of a model such as an a priori background or pre-assigned geometric data. Instead, geometry is inherited functorially by higher structures. This is relevant for formally justifying different choices of underlying spacetime discretization adopted by models of quantum gravity. We conclude with comments on how our framework of higher category-theoretic combinatorial constructions, corroborates with other approaches investigating higher categorical structures relevant to the foundations of physics.

연구 동기 및 목표

• 논문의 목적은 기하학적 및 위상수학적 구조가 순수히 사전기하학적이고 이산적인 재작성 체계에서 어떻게 유도될 수 있는지 형식화하는 데 있다.
• 기하학적 또는 위상수학적 자료를 사전에 가정하지 않고 시공간 기하학을 유도하는 기초적 과제를 다룬다.
• 기하학이 도입되는 것이 아니라 고차 호모토피 구조에서 유전되는 바탕을 제공함으로써 물리학에 대한 함의적이고 유형 이론 기반의 기초를 마련하는 것이 목적이다.
• 다양한 양자중력 접근법을 통합하기 위해, 그들의 기초가 되는 이산화 체계들이 호모토피 유형 이론과 고차 범주론을 통해 이해될 수 있음을 보여주는 것이다.

제안 방법

• 월프럼 모델의 다중경로 재작성 체계는 호모토피 유형 이론(HoTT)을 사용하여 유형 이론적 구성으로 형식화된다.
• 재작성 규칙은 n중 범주에서의 사상으로 해석되며, 유도 경로 사이의 고차 호모토피를 생성한다.
• 룰리얼 다중경로 체계의 n→∞ 극한은 ∞-군오이드로 식별되며, 그로텐디크의 호모토피 가설을 만족한다.
• 룰리얼 다중경로 체계의 분류 공간은 (∞,1)-토이드를 형성하며, 풍부한 범주론적 구조를 지닌 다중우주적 다중경로 체계의 집합을 제공한다.
• 이 프레임워크는 보에보츠키의 유일성 공리(Univalence Axiom)를 사용하여 룰리얼 다중경로 체계의 토이드 내부에서 논리적이고 기하학적 추론을 내재화한다.
• 기하학은 배경 시공간에 대한 특수 가정 없이, 글로벌 고차 범주론적 구조로부터 함의적으로 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 월프럼 모델에서 순수히 이산적이고 기하학적이지 않은 재작성 규칙으로부터 공간적 및 위상수학적 구조는 어떻게 유도될 수 있는가?
• RQ2 다중경로 재작성 체계 내에서 기하학적 구조를 코딩하는 데 있어 고차 호모토피의 역할은 무엇인가?
• RQ3 룰리얼 다중경로 체계의 극한이 ∞-군오이드로 나타나는 것은 호모토피 가설과 함의적 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 룰리얼 다중경로 체계의 분류 공간이 (∞,1)-토이드를 형성하는 방식은 무엇이며, 이 구조는 물리적 모델의 다중우주를 어떻게 지원하는가?
• RQ5 호모토피 유형 이론의 프레임워크는 양자중력에서 다양한 시공간 이산화 체계에 대한 공식적 정당성을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 월프럼 모델의 다중경로 재작성 체계는 호모토피 유형으로 형식화되어, 이산적 규칙에서 기하학을 함의적으로 구성할 수 있다.
• 이 체계 내의 고차 호모토피는 n중 범주에서의 사상으로 구성되며, n→∞ 극한에서 ∞-군오이드를 형성한다.
• 룰리얼 다중경로 체계의 분류 공간은 (∞,1)-토이드를 형성하며, 물리이론에 대한 공식적인 다중우주적 구조를 제공한다.
• 기하학과 위상수학은 글로벌 고차 범주론적 구조로부터 함의적으로 유전되며, 배경 가정이 필요로 하지 않는다.
• 이 프레임워크는 공간과 시간이 유형 이론적 및 호모토피 구조에서 기인하는 바탕을 제공하는 함의적 접근법을 지원한다.
• 이 모델은 고차 범주론적 구성들을 통해 양자중력, 범주론적 양자역학, 위상적 장 이론을 통합하는 메타프레임워크를 제공한다.