[논문 리뷰] Pregroupoids and their enveloping groupoids

Anders Kock|ArXiv.org|2005. 02. 03.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 군oids, 주접속다발, 그리고 토르서를 위한 기초 대수적 프레임워크로 pregroupoid를 도입하며, 각 pregroupoid에 대해 포함 군oid를 유도하는 완전충성사상 함수자리를 갖는 왼쪽 수반 구조를 수립한다. 주요 기여는 pregroupoid에서 군oid로의 忘각 함자에 대해 왼쪽 수반을 증명하고, 그 단위가 단사임을 보여, 기저점이나 전역 섹션에 의존하지 않는 토르서와 다발에 대한 표준 군oid 봉입을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We prove that the forgetful functor from groupoids to pregroupoids has a left adjoint, with the front adjunction injective. Thus we get an enveloping groupoid for any pregroupoid. We prove that the category of torsors is equivalent to that of pregroupoids. Hence we also get enveloping groupoids for torsors, and for principal fibre bundles.

연구 동기 및 목표

• 전적으로 대수적이고 함자론적인 groupoid와 주접속다발의 프레임워크를 개발하여 전역 섹션이나 기저점에 의존하지 않도록 한다.
• 토르서의 범주와 pregroupoid의 범주의 사이에 카테고리적 동치를 수립한다.
• 모든 pregroupoid, 주다발, 또는 토르서에 대해, 선택 원칙을 사용하지 않고 등식적 공리만을 사용하여 포함 군oid 함자를 구성한다.
• 주다발의 접속을 연구하기 위한 합성 미분기하학 호환 기초를 제공한다.

제안 방법

• pregroupoid를 집합 X와 그 위에 정의된 전성사상 α:X→A, β:X→B, 그리고 부분적으로 정의된 삼항 연산 yx⁻¹z로 정의하며, 단위법칙과 연결법칙을 만족시킨다.
• 공리 (1)–(4)와 유도된 항등식들인 결합법칙 (6) 및 대칭성 (7)–(8)을 사용하여 대수적으로 이 구조를 형식화한다.
• 군oid에서 pregroupoid로의 忘각 함자에 대한 왼쪽 수반으로서 포함 군oid X⁺를 구성하며, 그 단위가 단사임을 증명한다.
• 에르헤스만의 구성인 에지 군oid XX⁻¹이 수반은 아니지만, 포함 군oid 구성의 핵심 구성요소로 사용됨을 보여준다.
• 제트 공간에 적용: 주어진 커널 분포 D를 가진 사상의 1차 제트에 대해 pregroupoid를 정의하고, 이가 공리들을 만족함을 보인다.
• 두 에지 군oid (XX⁻¹ 및 X⁻¹X)가 각각 D를 보존하는 A와 B의 자동형사상에 대응함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저점이나 전역 섹션을 선택하지 않고도 어떤 pregroupoid에 대해 표준 군oid 봉입을 구성할 수 있는가?
• RQ2 토르서의 범주와 pregroupoid의 범주 사이에 동치가 존재하는가? 만약 존재한다면, 이 동치는 군oid 구조와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 군oid에서 pregroupoid로의 忘각 함자에 대해 왼쪽 수반을 갖는가? 그리고 이 수반의 단위가 단사인가?
• RQ4 주접속다발의 개념을 pregroupoid의 언어로 어떻게 대수적으로 표현할 수 있으며, 그 결과로 도출되는 포함 군oid는 무엇인가?
• RQ5 에지 군oid XX⁻¹은 포함 군oid 구성에서 어떤 역할을 하는가? 전체 군oid 구조와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 군oid에서 pregroupoid로의 忘각 함자에 대해 왼쪽 수반을 갖으며, 이 수반의 단위는 단사이다. 이는 임의의 pregroupoid에 대해 표준 포함 군oid의 존재를 증명한다.
• 토르서의 범주와 pregroupoid의 범주 사이에 동치가 존재하며, 기하학적 토르서와 대수적 pregroupoid 사이에 깊은 대칭적 관계를 확립한다.
• 포함 군oid 구성은 완전충성사상이며, 원래 pregroupoid의 모든 구조적 정보를 유지한다.
• 주접속다발의 경우, 포함 군oid 구성은 표준 전이 군oid를 복원하며, 합성 미분기하학 프레임워크와 호환된다.
• 에지 군oid XX⁻¹ (에르헤스만의 구성)은 수반도 아니며 충성사상도 아니지만, 포함 군oid 구성의 핵심 구성요소로 기능한다.
• 고정된 커널 분포 D를 가진 사상의 1차 제트의 경우, pregroupoid 구조는 자연스럽게 정의되며, 그 포함 군oid는 D를 보존하는 자동형사상을 포괄한다.