[논문 리뷰] Preserving Lagrangian structure in data-driven reduced-order modeling of large-scale dynamical systems

Harsh Sharma, Boris Kramer|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 12.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기계적 구조를 연산자 추론에 통합하여 대규모 라그랑주 시스템을 위한 구조를 유지하는 축소된 순서 모델(ROM)을 학습하는 비침습적 데이터 기반 방법인 라그랑주 연산자 추론(L-OpInf)을 소개한다. 이 방법은 전체 순서 모델 연산자에 접근할 수 없더라도 궤적 데이터로부터 정확하고 안정적인 ROM을 직접 학습할 수 있으며, 보존적 및 강제 시스템 모두에서 예측 시간이 길어질수록 안정성과 일반화 능력이 뛰어나, 예측되지 않은 초기 조건과 제어 입력에 대해 강건하다.

ABSTRACT

This work presents a nonintrusive physics-preserving method to learn reduced-order models (ROMs) of Lagrangian systems, which includes nonlinear wave equations. Existing intrusive projection-based model reduction approaches construct structure-preserving Lagrangian ROMs by projecting the Euler-Lagrange equations of the full-order model (FOM) onto a linear subspace. This Galerkin projection step requires complete knowledge about the Lagrangian operators in the FOM and full access to manipulate the computer code. In contrast, the proposed Lagrangian operator inference approach embeds the mechanics into the operator inference framework to develop a data-driven model reduction method that preserves the underlying Lagrangian structure. The proposed approach exploits knowledge of the governing equations (but not their discretization) to define the form and parametrization of a Lagrangian ROM which can then be learned from projected snapshot data. The method does not require access to FOM operators or computer code. The numerical results demonstrate Lagrangian operator inference on an Euler-Bernoulli beam model, the sine-Gordon (nonlinear) wave equation, and a large-scale discretization of a soft robot fishtail with 779,232 degrees of freedom. The learned Lagrangian ROMs generalize well, as they can accurately predict the physical solutions both far outside the training time interval, as well as for unseen initial conditions.

연구 동기 및 목표

• 전체 순서 모델(FOM) 연산자나 소스 코드에 접근할 필요 없이 대규모 라그랑주 시스템의 축소된 순서 모델(ROM)을 학습하는 비침습적 데이터 기반 방법을 개발하는 것.
• 스냅샷 데이터에서 유일하게 유도된 ROM에 라그랑주 구조—에너지 보존 및 대칭 시스템 행렬—을 유지하는 것.
• 보존적 및 비보존적 시스템 모두에서 예측 시간이 길어질수록 정확한 예측과 예측되지 않은 초기 조건 및 제어 입력에 대한 강건한 일반화 능력을 확보하는 것.
• 공간 이산화나 FOM의 실행 세부 정보를 모두 알 필요 없이 침습적 모델 감소의 경량 대체 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 전체 순서 시스템의 라그랑주 구조를 유지하는 축소된 순서 연산자를 추론하기 위한 제약 조건이 있는 최적화 문제를 설정한다.
• 기본적으로 알려진 운동 방정식(그러나 이들의 이산화 방식은 제외)을 기반으로 라그랑주 ROM의 매개변수화를 정의하여 물리적 해석 가능성을 확보한다.
• 시간 적분 시뮬레이션에서 유도된 투영된 스냅샷 데이터를 사용하여, 시스템 행렬의 대칭성과 양의 정부호성을 유지하면서 ROM 연산자를 연산자 추론을 통해 학습한다.
• 유도된 연산자가 오일러-라그랑주 형태를 만족하도록 제약 조건을 걸어 시스템의 역학을 연산자 추론 프레임워크에 통합한다.
• 선형 및 비선형 파동 방정식, 대규모 소프트 로봇 모델을 포함한 반디스크리트화된 PDE에 이 방법을 적용하여 궤적 데이터만을 사용한다.
• 전체 순서 모델 연산자에 접근할 수 없더라도, 라그랑주 역학의 변분 원리를 만족하도록 학습된 ROM이 구조 보존을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 순서 모델 연산자나 소스 코드에 접근할 수 없더라도, 대규모 동적 시스템의 기초 라그랑주 구조를 유지하는 데이터 기반 ROM을 구성할 수 있는가?
• RQ2 학습 데이터의 시간 간격을 초월하여 예측되지 않은 초기 조건과 시간 간격에 대해 학습된 ROM의 일반화 능력은 얼마나 뛰어나게 작동하는가?
• RQ3 보존적 및 비보존적(예: 강제, 소산성) 라그랑주 시스템 모두에서 에너지 보존과 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 정확도, 안정성, 에너지 추적 측면에서 비침습적 L-OpInf ROM은 침습적 ROM과 비교해 어떻게 성능을 내는가?
• RQ5 예를 들어 소프트 로봇 어항 꼬리 모델처럼 수십만 개의 자유도를 가진 고차원 시스템에 이 방법을 효과적으로 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 에일러-버누이 비틀림 빔에 대해 L-OpInf ROM은 학습 시간 간격을 크게 초월한 영역에서도 유한한 에너지 오차와 안정적인 장기 예측을 달성했다.
• 비선형 사인-고든 파동 방정식에 대해서는, 비선형 항에 대한 사전 지식 없이도 궤적 데이터만으로도 동역학과 에너지 행동을 정확히 포착했다.
• 779,232개의 자유도를 가진 소프트 로봇 어항 꼬리 모델에서, ROM은 시간에 따라 변하는 제어 입력과 소산성 조건 하에서도 시스템 에너지를 정확히 추적했다.
• 학습되지 않은 초기 조건과 부드럽지 않은 액추에이션 입력에 대해 강건성을 보였으며, 스텝 입력 케이스에서 상대 오차가 약 10−2 수준에서 안정화되었다.
• 물리적 구조를 유지하면서도 상태 차원을 크게 줄여 실시간 제어 및 상태 추정에 적합한 모델을 제공했다.
• 침습적 및 비침습적 ROM 모두 스텝 입력 케이스에서 일시적인 에너지 동역학을 포착하지 못했지만, L-OpInf ROM은 변위 추적 측면에서 약간 더 뛰어난 성능을 보였다.