[논문 리뷰] Presto! Digitization, Part I: From NKS Number Theory to "XORbitant" Semantics, by way of Cayley-Dickson Process and Zero-Divisor-based "Representations"

de Marrais, P. C. Robert|arXiv (Cornell University)|2006. 03. 13.

Cognitive Computing and Networks인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 과학에 뿌리를 두고 있는 고차원 대수에서 이진화된 표현을 통해 비선형 역학(CT)과 네트워크 이론(NT)을 연결하는 새로운 수론적 프레임워크를 제안한다. 카일리-딕슨 과정을 적용하여 2^N-ions를 생성하고, 박스-카이트 형식을 통해 그들의 영수를 분석함으로써, 복잡계를 의미론적으로 풍부한 노듈로 모델링하며, 자기유사 패턴을 드러내고 XOR 기반 연산 및 영수 분할을 통해 혼돈, 신화, 표현의 통합적 의미론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The objects of the great Nonlinear Revolutions - Catastrophes and Chaos in the 1960s-70s (henceforth, CT); and, small-world and scale-free Network Theory (NT), emerging quite recently - will be spliced together by a New Kind of Number Theory, focused on digitizations (i.e., binary strings). NT nodes then become feature-rich (nodules in a rhizosphere) of CT contents. The Box-Kite formalism of zero-divisors (ZD's) - first showing in the 16-D Sedenions, then in all higher 2^N-ions derived from Imaginaries by Cayley-Dickson Process (CDP) - can model such enriched nodules. Its (bit-string XOR-ing vs. matrix-multiplying) operations unfold into representations of the objects linked in CT with partitions of Nullity: Singularities. The route from here to fractals and Chaos, via CDP extensions to 2^N-ions for growing N, will involve us in graphics of higher-dimensional carry-bit overflow, as manifest in the mandala-like patterns of emanation tables (the rough equivalent, for ZD's, of group theorists' Cayley Tables). I'll lead into this with a quote about Hjelmslev's Net (which I'll claim is the CDP manque') from a famous postmodern text, Deleuze and Guattari's A Thousand Plateaus (where rhizosphere imagery arose). With strong assists from the CT-based structuralism of Jean Petitot, Algirdas Greimas's Semiotic Square will show us how to explicitly link CT to semiotic foundations via ZD representations, while the infinite-dimensional ZD meta-fractal or Sky where Box-Kites fly - first appearing in the 32-D Pathions and incorporating the higher 2^N-ions - will provide sufficient lebensraum for Levi-Strauss's Canonical Formula of mythwork to unfurl in. (These results serve to extend my NKS 2004 paper, available at the Wolfram Science website.)

연구 동기 및 목표

• 비선형 과학에 뿌리를 두고 있는 이진 문자열 기반의 수 체계를 통해 비선형 역학(CT)과 네트워크 이론(NT)을 통합하는 것.
• 영수 구조를 가진 고차원 대수에 임베딩함으로써, CT 현상을 뿌리 네트워크 내의 기능적으로 풍부한 노듈로 모델링하는 것.
• 원래 16차원 세데니온에서 유래한 박스-카이트 형식을 더 높은 2^N-ions로 확장하여, 영수 분할을 통해 복잡한 동역학과 특이점을 표현하는 것.
• 영수 표현을 그레마스의 사각형과 레비-스트로스의 신화 작업의 기본 공식과 같은 의미론적 구조와 연결하여 혼돈과 신화의 의미론적 기반을 확립하는 것.
• 2^N-ions의 고차원 캐리 비트 오버플로우 패턴이 만다라 유사 발산 표를 생성하며, 자기유사적 행동을 드러내는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 카일리-딕슨 과정(CDP)을 반복적으로 적용하여 복소수에서 출발하여 2^N-ions를 생성하는 것. 이는 허니톤에서 시작하여 32차원 파티온까지 확장된다.
• 박스-카이트 형식을 사용하여 16차원 세데니온과 더 높은 2^N-ions 내의 영수(ZDs)를 식별하고 분석함으로써, 네트워크 시스템 내의 노듈을 구조적 단위로 간주하는 것.
• CT 동역학을 이진 문자열(디지털화)로 표현하고, 비트 문자열 XOR 연산을 통해 ZD 구조에 매핑함으로써 기존의 행렬 곱셈을 대체하는 것.
• Cayley 표와 유사한 '발산 표'를 구성하여 ZD 관계를 시각화하고, 고차원 캐리 비트 오버플로우에서 유래한 만다라 유사, 자기유사 패턴을 드러내는 것.
• 그레마스의 의미론적 사각형과 레비-스트로스의 신화 작업 기본 공식과 같은 의미론적 프레임워크를 ZD 표현 공간에 통합하여 추상적 동역학을 의미론적 구조에 뿌리내리게 하는 것.
• 델류즈와 고타리의 뿌리 네트워크 은유와 페티토의 구조주의 접근을 활용하여, 도출된 대수적 구조를 동적이고 자가조직화된 시스템으로 해석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카일리-딕슨 과정을 통해 생성된 2^N-ions 내의 영수는 비선형 역학과 네트워크 이론에서 복잡계를 모델링하는 데 있어 어떤 구조적 단위로 기능할 수 있는가?
• RQ2 기존의 행렬 곱셈과 비교해 복잡한 CT 동역학과 특이점을 표현하는 데 비트 문자열 XOR 연산이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 2^N-ions 내 ZD 관계에서 유도된 발산 표는 어떤 방식으로 고차원 캐리 비트 오버플로우에서 유래한 자기유사적, 만다라 유사 패턴을 생성하는가?
• RQ4 32차원 파티온 이상의 박스-카이트 형식은 레비-스트로스의 신화 작업 기본 공식이 펼쳐지기에 충분한 '생태적 공간(lebensraum)'을 제공하는가?
• RQ5 그레마스의 사각형과 같은 의미론적 구조는 영수 표현 내에 어떻게 명시적으로 통합될 수 있으며, 이는 혼돈 이론과 기초적 의미론을 연결하는 데 어떤 방식으로 기여하는가?

주요 결과

• 박스-카이트 형식은 원래 16차원 세데니온에서 관찰된 바가 있었지만, 카일리-딕슨 과정을 통해 생성된 모든 더 높은 2^N-ions로 확장 가능하여 영수의 체계적 분석이 가능해진다.
• CT 현상의 디지털화된 이진 표현에 대한 비트 문자열 XOR 연산은 행렬 곱셈에 비해 계산적으로 효율적이고 구조적으로 통찰력을 제공하는 대체 방법을 제공한다.
• 2^N-ions 내 ZD 관계를 표현하는 '발산 표'는 고차원 캐리 비트 오버플로우 과정에서 기인한 만다라 유사, 자기유사 패턴을 나타낸다.
• 32차원 파티온은 영수 메타프랙탈 또는 '하늘'로 불리는 무한차원 ZD 구조가 처음 나타나는 지점으로, 박스-카이트가 비행할 수 있는 위상공간을 제공한다.
• 그레마스의 사각형과 레비-스트로스의 기본 공식과 같은 의미론적 프레임워크는 ZD 표현 공간 내에 명시적으로 실현 가능하며, 이는 혼돈 이론과 신화적·언어적 의미론을 연결한다.
• 이 프레임워크는 저자의 2004년 NKS 논문을 확장하여 비선형 역학과 네트워크 구조를 디지털 수론에 기반한 통합 대수적·의미론적 형식으로 통합한다.