[논문 리뷰] Pretty good state transfer on double stars

Xiaoxia Fan, Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이중성 그래프 $S_{k,\ell}$에서 상당히 좋은 상태 전송(PGST)이 성립하는 조건을 규명한다. $\ell > 2$일 때 $S_{2,\ell}$의 끝 정점 사이에 PGST가 발생하며, $S_{k,k}$의 중심 정점 사이에는 $4k+1$가 완전 제곱수가 아닐 때에만 PGST가 발생한다. 결과적으로 양자 상태 전송과 수론적 조건 간의 깊은 연관성이 드러나며, 경로 이외의 그래프 가족들에 대해 PGST가 성립하는 경우를 확장한다.

ABSTRACT

Let A be the adjacency matrix of a graph $X$ and suppose U(t)=exp(itA). We view A as acting on $\cx^{V(X)}$ and take the standard basis of this space to be the vectors $e_u$ for $u$ in $V(X)$. Physicists say that we have perfect state transfer from vertex $u$ to $v$ at time $τ$ if there is a scalar $γ$ such that $U(τ)e_u = γe_v$. (Since $U(t)$ is unitary, $ ormγ=1$.) For example, if $X$ is the $d$-cube and $u$ and $v$ are at distance $d$ then we have perfect state transfer from $u$ to $v$ at time $π/2$. Despite the existence of this nice family, it has become clear that perfect state transfer is rare. Hence we consider a relaxation: we say that we have pretty good state transfer from $u$ to $v$ if there is a complex number $γ$ and, for each positive real $ε$ there is a time $t$ such that $ orm{U(t)e_u - γe_v} < ε$. Again we necessarily have $|γ|=1$. Godsil, Kirkland, Severini and Smith showed that we have have pretty good state transfer between the end vertices of the path $P_n$ if and only $n+1$ is a power of two, a prime, or twice a prime. (There is perfect state transfer between the end vertices only for $P_2$ and $P_3$.) It is something of a surprise that the occurrence of pretty good state transfer is characterized by a number-theoretic condition. In this paper we study double-star graphs, which are trees with two vertices of degree $k+1$ and all other vertices with degree one. We prove that there is never perfect state transfer between the two vertices of degree $k+1$, and that there is pretty good state transfer between them if and only if $4k+1$ is a perfect square.

연구 동기 및 목표

• 이중성 그래프 $S_{k,\ell}$, 즉 두 중심 정점의 차수 각각이 $k+1$와 $\ell+1$인 나무의 클래스에서 상당히 좋은 상태 전송(PGST)의 존재 여부를 조사한다.
• 이 그래프들에서 끝 정점 또는 중심 정점 간에 PGST가 발생하는지 여부를 규명한다.
• PGST에 대한 수론적 조건을 설정하며, 이는 기존의 경로 $P_n$에 대한 조건과 유사하게 한다.
• 모든 이중성 그래프에서 완전한 상태 전송이 발생하지는 않지만 PGST는 여전히 발생할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 그래프의 인접행렬 $A$에 의해 정의된 연속시간 양자 산책 $U(t) = \exp(itA)$를 사용한다.
• 정점 $u$에서 $v$로의 상태 전송를 평가하기 위해 표준 기저 벡터 $e_u$와 $e_v$에서 $U(t)$의 역학을 분석한다.
• 스펙트럼 분해와 고유값 분석을 적용하여, 임의로 작은 $\epsilon > 0$에 대해 $\|U(t)e_u - \gamma e_v\| < \epsilon$가 성립하는 조건을 결정한다.
• 대칭화된 몫 그래프 기법을 사용하여 문제를 더 적은 고유값을 가진 더 작은 시스템으로 축소한다.
• 크로네커의 근사 정리를 활용하여 $\alpha$가 무리수일 경우 궤도의 조밀성을 보이며, 원하는 상태 전송를 근사화할 수 있음을 보인다.
• 닫힘된 유니터리 군 $\overline{G}$가 컴act임을 증명하고, PGST가 시간 간격 내의 재귀성을 암시함을 보여, 근사 상태 전송의 규칙성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\ell > 2$에 대해 $S_{2,\ell}$의 끝 정점 사이에 상당히 좋은 상태 전송이 발생하는가?
• RQ2 $S_{k,k}$의 두 중심 정점 사이에 PGST가 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 왜 어떤 이중성 그래프에서도 완전한 상태 전송이 발생하지 않는가?
• RQ4 경로의 경우 $n+1$이 2의 거듭제곱이거나 소수임과 유사한 수론적 특성으로 이중성에서 PGST를 특성화할 수 있는가?
• RQ5 이중성에서 PGST는 시간에 따라 규칙적인 반복 패tern을 암시하는가?

주요 결과

• 모든 이중성 그래프 $S_{k,\ell}$에서 완전한 상태 전송은 $k$와 $\ell$의 값에 관계없이 발생하지 않는다.
• $\ell > 2$일 때 $S_{2,\ell}$의 끝 정점 사이에는 항상 상당히 좋은 상태 전송이 발생한다.
• $k > 2$인 $S_{k,k}$의 경우, 두 중심 정점 사이에 PGST가 발생하는 것은 $4k+1$가 완전 제곱수가 아닐 때에만 성립한다.
• $4k+1$가 완전 제곱수일 경우, 시스템은 주기적이지만 PGST는 발생하지 않으며, 고유값이 $\pi$의 유리수 배임에도 불구하고 그렇다.
• $S_{k,k}$에서 PGST의 존재는 오직 $4k+1$가 완전 제곱수가 아님이라는 수론적 조건에 의해 결정된다.
• PGST는 시간 진동이 약간 주기적임을 암시하며, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, 모든 길이 $T$인 간격 내에 $U(t)$가 PGST를 달성하는 상태로부터 $\epsilon$ 이내에 있는 시간 $T$가 존재한다.