[논문 리뷰] Pretty simple bounds on quantum state discrimination

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 22.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최상의 측정법(PGM)이 악성 경우 양자 상태 식별에 대해 효율적이고 명시적인 해를 제공함을 보여준다: 상호 간의 허브리드성(fidelity)이 1에서 멀리 떨어져 있는 혼합 상태의 경우, 실패 확률 δ를 달성하기 위해 O(log n / ε)개의 복제본으로 충분하다; 순수 상태의 경우 성공 확률은 그람 행렬 G의 연산자 노름 ∥G∥로 제한되며, δ 실패 확률을 달성하기 위해 Õ(∥G∥/ε)개의 복제본이 필요하다. ∥G∥가 작을 경우 더 날카운 경계를 얻을 수 있다.

ABSTRACT

We show that the quantum measurement known as the pretty good measurement can be used to identify an unknown quantum state picked from any set of $n$ mixed states that have pairwise fidelities upper-bounded by a constant below 1, given $O(\log n)$ copies of the unknown state, with high success probability in the worst case. If the unknown state is promised to be pure, there is an explicit measurement strategy which solves this worst-case quantum state discrimination problem with $\widetilde{O}(\|G\|)$ copies, where $G$ is the Gram matrix of the states.

연구 동기 및 목표

• 악성 경우 양자 상태 식별을 위한 명시적이고 구성 가능한 경계를 제공함으로써, 비구성적인 최소최대 정리(minimax theorems)를 피하기 위해.
• 최상의 측정법(PGM)이 상호 간의 허브리드성이 유한하게 제한된 혼합 상태 식별에 대해 근사 최적의 복제본 복잡도를 달성함을 보여주기 위해.
• 순수 상태 식별에서 그람 행렬의 노름 ∥G∥에 대한 의존성을 설정함으로써, ∥G∥가 작을 경우 개선된 스케일링이 가능함을 보여주기 위해.
• 이전의 평균 경우 식별 결과를 악성 경우 설정으로 확장함으로써, 특히 무작위 순수 상태에 대해.
• ∥G∥ 기반 경계를 혼합 상태로 확장할 수 있는 한계를 명확히 하여, 그것이 항상 성립하지 않는다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 알려지지 않은 상태의 복제본에 대해 μ_i = Σ^{-1/2} ρ_i Σ^{-1/2}로 정의된 최상의 측정법(PGM)을 적용함. 여기서 Σ = ∑_i ρ_i.
• 상태들(또는 그 가중치가 부여된 고유벡터들)의 그람 행렬 G를 사용하여 PGM의 성공 확률을 연산자 노름 ∥G∥로 경계함.
• 순수 상태에 대해 이중 단계 프로토콜을 사용함: 첫 번째로 k = O(∥G∥ log(1/δ))개의 복제본에 PGM를 적용하여 후보 상태를 식별하고, 두 번째로 사영 측정을 통해 확인함.
• 유니온 바운드와 지수 尾 꼬리 추정을 사용하여 실패 확률 δ를 경계함. 서로 다른 상태들 사이의 허브리드성 제약 조건(tr(ρ_i ρ_j) ≤ 1−ε)을 활용함.
• G의 스펙트럼 성질을 사용하여 μ_i ρ_i의 트레이스에 대한 경계를 유도함. ∥G∥^{-1} ≤ tr(μ_i ρ_i) ≤ ∥G^{-1}∥ tr(ρ_i^2)임을 보임.
• 무작위 순수 상태(예: 하르 또는 ±1 진폭 상태)에서 ∥G∥의 행동을 분석함. n = O(d)일 때, d 차원에서 ∥G∥ = O(1)이 고려 확률로 성립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최상의 측정법(PGM)을 사용하여 알려진 비구성적 경계와 일치하는 복제본 복잡도를 갖는 구성적 악성 경우 양자 상태 식별을 해결할 수 있는가?
• RQ2 순수 상태의 그람 행렬의 연산자 노름 ∥G∥이 상태 식별에서 성공 확률과 필요한 복제본 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 상호 간의 허브리드성이 1−ε로 제한된 혼합 상태에 대해 PGM이 O(log n / ε)의 복제본 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 ∥G∥가 작을 경우 순수 상태 식별에서 복제본 복잡도에 대해 n에 대한 비선형적 의존성이 가능할 수 있는가?
• RQ5 ∥G∥ 기반 경계를 혼합 상태 식별으로 확장할 수 있는 한계는 무엇이며, 언제 실패하는가?

주요 결과

• 모든 n개의 혼합 상태가 상호 간 허브리드성이 ≤ 1−ε를 만족하는 경우, PGM는 실패 확률 δ를 달성하기 위해 O(log(n/δ)/ε)개의 복제본으로 악성 경우 상태 식별을 해결할 수 있다.
• 순수 상태의 경우, PGM는 한 개의 복제본에 적용되었을 때 성공 확률이 최소 ∥G∥^{-1} 이상이다. 여기서 G는 상태들의 그람 행렬이다.
• 모든 순수 상태가 상호 간 내적 값 ≤ 1−ε를 만족할 경우, PGM는 검증과 조합하여 실패 확률 δ를 달성하기 위해 Õ(∥G∥/ε)개의 복제본으로 문제를 해결할 수 있다.
• 무작위 순수 상태에서 d 차원에서 n = O(d)일 경우, ∥G∥ = O(1)이 고려 확률로 성립하므로 이러한 경우 상수 수준의 복제본 복잡도를 의미한다.
• n개의 최대 혼합 상태의 반례를 통해, ∥G∥가 작을 경우 PGM가 혼합 상태에 대해 유용한 경계를 제공하지 못함을 보여주었는데, 이 경우 ∥G∥ = 1이지만 성공 확률은 1/n이 된다.
• 일정한 상호 내적 값 c를 가진 등각 상태(equiangular states)의 경우, ∥G∥ = 1 + c(n−1)로 경계가 주어지며 이에 따라 Õ(n)개의 복제본이 필요로 하지만, 더 날카운 분석을 통해 실제로는 O(1)개의 복제본만으로도 충분함을 보여주었고, 이는 경계가 항상 날카롭지 않음을 시사한다.