[논문 리뷰] Pricing and hedging of derivatives based on non-tradable underlyings

Stefan Ankirchner, Peter Imkeller외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2007. 12. 21.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이차 생성자를 갖는 전진-역행 확률미분방정식(FBSDE)을 활용하여 거래가 불가능한 기초자산에 연동된 파생상품에 대한 유틸리티 기반 가격 설정 및 헤징 프레임워크를 개발한다. FBSDE 해의 마르코프 성질과 미분 가능성에 대한 성립을 입증함으로써, 가격 기울기와 상관계수의 곱으로 표현되는 명시적 최적 헤징 전략을 도출하며, 이는 불완전 시장에서의 고전적 델타 헤징을 일반화한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the study of insurance related derivatives on financial markets that are based on non-tradable underlyings, but are correlated with tradable assets. We calculate exponential utility-based indifference prices, and corresponding derivative hedges. We use the fact that they can be represented in terms of solutions of forward-backward stochastic differential equations (FBSDE) with quadratic growth generators. We derive the Markov property of such FBSDE and generalize results on the differentiability relative to the initial value of their forward components. In this case the optimal hedge can be represented by the price gradient multiplied with the correlation coefficient. This way we obtain a generalization of the classical 'delta hedge' in complete markets.

연구 동기 및 목표

• 거래가 불가능한 기초자산(예: 기상 지수 또는 보험 손실 지수)에 연동된 파생상품의 가격 설정 및 헤징 문제를 해결하기 위해.
• 지수 유틸리티와 동등가격 설정을 활용하여 투자자의 위험 선호도를 반영하는 유틸리티 기반 가격 설정 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기초자산과 관련된 거래 가능 자산에 투자하여 기초 위험을 최소화하면서 기대 유틸리티를 극대화하는 최적 헤징 전략을 도출하기 위해.
• 이차 생성자를 갖는 FBSDE 해의 마르코프 성질과 미분 가능성에 대한 충분조건을 확립하여 최적 헤징의 명시적 특성화를 가능하게 하기 위해.
• 기초자산이 거래가 불가능한 불완전 시장으로의 고전적 블랙-숄즈 델타 헤징을 기울기 기반 헤징 규칙을 통해 일반화하기 위해.

제안 방법

• 마팅게일 최적성 원리를 활용하여 최적 헤징 문제를 수립함으로써, 동등가격과 헤징 전략을 전진-역행 확률미분방정식(FBSDE)의 해를 통해 표현한다.
• 거래가 불가능한 기초자산을 마르코프 확산 과정으로 모델링하고, 관련된 거래 가능 자산을 상관관계가 있는 확산 과정으로 설정하며, FBSDE가 유틸리티 최적화 포트폴리오의 역학을 기술하도록 한다.
• 전진 과정의 현재 상태에만 의존하는 역행 성분(가치 과정)의 성질을 입증함으로써 FBSDE 해의 마르코프 성질을 확립한다.
• 말리아빈 미적분과 확률미분의 변환 이론을 활용하여 전진 과정의 초기 조건에 대한 역행 성분의 미분 가능성을 증명한다.
• 최적 헤징 전략을 기초자산에 대한 가격 기울기와 기초자산 및 거래 가능 자산 간 상관계수의 곱으로 명시적으로 도출한다.
• 다차원 기초자산과 다수의 거래 가능 자산으로의 접근을 일반화하여 바스켓 옵션과 크래크 스프레드 등에의 적용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거래 가능 자산과 상관관계가 있는 거래가 불가능한 기초자산에 기반한 파생상품에 대해 유틸리티 기반 동등가격을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 유틸리티 최적화 맥락에서 이차 생성자를 갖는 FBSDE 해의 마르코프 성질과 미분 가능성에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ3 거래가 불가능한 기초자산이 존재하는 불완전 시장에서 최적 헤징 전략을 어떻게 명시적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ4 기초자산이 거래가 불가능할 경우, 최적 헤징 전략이 고전적 블랙-숄즈 델타 헤징을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 크래크 스프레드 옵션과 같이 다차원 기초자산과 다수의 상관관계가 있는 거래 가능 자산을 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 유틸리티 동등가격과 최적 헤징 전략은 이차 비선형성을 갖는 두 FBSDE의 초기값과 제어 과정의 차이로 표현된다.
• FBSDE 해가 마르코프 성질을 만족할 수 있는 충분조건가 제공되어 시간에 일관된 가격 설정과 헤징을 보장한다.
• FBSDE의 전진 성분이 초기 조건에 대해 미분 가능하다는 것이 입증되어 기울기 기반 헤징 전략을 가능하게 한다.
• 최적 헤징 전략은 기초자산에 대한 가격 기울기와 기초자산 및 거래 가능 자산 간 상관계수의 곱으로 명시적으로 주어지며, 고전적 델타 헤징을 일반화한다.
• 이 프레임워크는 다차원 기초자산과 다수의 상관관계가 있는 자산을 다룰 수 있어 HJB 기반 접근법에서 사용되는 단일 자산 모델을 초월한다.
• 최종 지급과 생성자에 대한 조건이 상대적으로 약한 조건 하에서, 매개변수화된 종료 조건을 갖는 BSDE 해의 미분 가능성은 강력한 민감도 분석을 가능하게 한다.