[논문 리뷰] Pricing equity-linked life insurance contracts with multiple risk factors by neural networks

Karim Barigou, Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management참고 문헌 38인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 이자율, 주식, 변동성, 사망률이라는 다수의 확률적 리스크 요인을 포함하는 고차원적이고 불완전한 시장에서 주가연계형 생명보험 계약의 가격을 산정하기 위한 신경망 기반 방법을 제안한다. 공정 가격 평가 문제를 점프를 포함한 역방향 확률미분방정식으로 재구성함으로써, 저자들은 비선형 편미분방정식 시스템을 효율적으로 해결하기 위해 이중 신경망 아키텍처를 사용하여 몬테카를로 시뮬레이션에 비해 빠른 수렴과 높은 정확도를 달성하였으며, 상대 오차는 0.2% 미만을 기록하였다.

ABSTRACT

This paper considers the pricing of equity-linked life insurance contracts with death and survival benefits in a general model with multiple stochastic risk factors: interest rate, equity, volatility, unsystematic and systematic mortality. We price the equity-linked contracts by assuming that the insurer hedges the risks to reduce the local variance of the net asset value process and requires a compensation for the non-hedgeable part of the liability in the form of an instantaneous standard deviation risk margin. The price can then be expressed as the solution of a system of non-linear partial differential equations. We reformulate the problem as a backward stochastic differential equation with jumps and solve it numerically by the use of efficient neural networks. Sensitivity analysis is performed with respect to initial parameters and an analysis of the accuracy of the approximation of the true price with our neural networks is provided.

연구 동기 및 목표

• 다수의 상관관계가 있는 확률적 리스크 요인 존재 하에서 주가연계형 생명보험 계약을 계산적으로 효율적이고 정확하게 가격 매기기 위한 방법을 개발하기 위해.
• 불완전한 시장 헤징과 헤지할 수 없는 리스크에서 발생하는 고차원 비선형 편미분방정식 시스템의 유한성 문제(차원의 저주)를 해결하기 위해.
• 즉각적인 표준편차 리스크 마진를 사용하여 헤지할 수 없는 사망률 및 금융 리스크를 가격 책정 프레임워크에 통합하기 위해.
• 실무적 보험계리 적용을 위해 몬테카를로 시뮬레이션과 비교하여 신경망 접근법을 검증하고 민감도 분석을 제공하기 위해.
• 기존의 딥러닝 기반 편미분방정식 해법을 점프 과정과 다요소 확률적 사망률 및 변동성 모델을 처리할 수 있도록 확장하기 위해.

제안 방법

• 공정 가격 평가 문제는 불완전한 시장 가정 하에서 국소 분산 최소화 및 리스크 마진 접근법을 기반으로 유도된 비선형 편미분방정식 시스템으로 공식화된다.
• 편미분방정식 시스템은 사망 점프와 확률적 변동성을 포함하기 위해 점프를 가진 역방향 확률미분방정식(BSDE)으로 재구성된다.
• 이중 신경망 아키텍처가 사용된다: 한 신경망은 기울기(확산 성분)를 근사하고, 다른 하나는 점프 성분을 모델링하며, 세 번째 신경망은 다양한 초기 조건에 대한 초기 가격을 출력한다.
• 신경망 출력과 편미분방정식 시스템의 진짜 해 사이의 평균제곱오차를 최소화하기 위해 강화학습 기반 학습이 사용된다.
• 알고리즘은 시간 이산화 방법을 사용하여 학습되며, 위험 중립 측도 하에서 이자율(Hull-White), 주식(Heston), 변동성(CIR), 사망률(Feller 과정)의 확률적 과정이 시뮬레이션된다.
• 민감도 분석은 초기 조건을 변화시켜 몬테카를로 기준과 결과를 비교함으로써 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 신경망은 주가연계형 보험 계약의 공정 가격 평가에서 발생하는 다수의 리스크 요인을 포함하는 고차원 비선형 편미분방정식 시스템을 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 제안된 신경망 아키텍처는 특히 확률적 사망률과 변동성을 모델링할 때 점프를 포함한 BSDE의 해를 근사하는 데 얼마나 잘 작동하는가?
• RQ3 전통적인 몬테카를로 시뮬레이션에 비해 신경망 가격 결정 방법의 수렴 속도와 정확도는 어떠한가?
• RQ4 이자율, 변동성, 사망률 강도와 같은 주요 모델 파라미터의 변화에 대해 보정된 가격은 얼마나 민감한가?
• RQ5 신경망 프레임워크는 다양한 초기 조건을 처리할 수 있으며, 대규모 보험 포트폴리오에 대해 빠르고 확장 가능한 가격 결정을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 신경망 방법은 약 25~100개의 학습 에포크 후 수렴이 안정화되었으며, GMMB 사례에서 몬테카를로 시뮬레이션과 비교해 상대 오차 약 0.2%를 기록하였다.
• 해결 방법은 실제 가격을 매우 정확하게 근사하였으며, 최종 평균제곱오차(MSE)는 [10⁻²; 10⁻¹] 범위에 있었으며, 최첨단 딥 편미분방정식 해법과 일치하는 결과를 보였다.
• 이중 네트워크 아키텍처는 BSDE의 확산(기울기) 성분과 점프(사망률) 성분을 효과적으로 포착하여 헤지할 수 없는 리스크를 견고하게 모델링할 수 있었다.
• 민감도 분석을 통해 보정된 가격이 모델 파라미터 변화에 대해 직관적으로 반응함을 확인하여 모델의 경제적 타당성을 검증하였다.
• 초기 가격 출력을 위한 세 번째 서브넷의 포함으로, 재학습 없이 다양한 초기 조건에 대한 효율적인 평가가 가능해졌다.
• 딥러닝을 활용하여 고차원의 차원의 저주 문제와 대규모 보험 포트폴리오에서의 재귀적 편미분방정식 해법 과제를 성공적으로 처리하였다.