[논문 리뷰] Pricing, Hedging and Optimally Designing Derivatives Via Minimization of Risk Measures

Pauline Barrieu, Nicole El Karoui|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|2007. 08. 07.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 6인용 수 123

한 줄 요약

이 논문은 볼록 리스크 측도 최소화를 통해 파생상품의 가격 설정, 헤지 및 최적 설계를 위한 프레임워크를 제안한다. 기존의 유틸리티 최적화에서 리스크 기반 최적화로의 전환을 통해, 비완전 시장에서 거래가 불가능한 리스크를 가진 경우에도 최적의 리스크 이전을 가능하게 한다. 특히, 볼록 리스크 측도의 인프-컨볼루션을 통해 이 문제를 해결할 수 있으며, 확장 또는 정규화 조건 하에서는 명시적 해를 제공한다.

ABSTRACT

The question of pricing and hedging a given contingent claim has a unique solution in a complete market framework. When some incompleteness is introduced, the problem becomes however more difficult. Several approaches have been adopted in the literature to provide a satisfactory answer to this problem, for a particular choice criterion. In this paper, in order to price and hedge a non-tradable contingent claim, we first start with a (standard) utility maximization problem and end up with an equivalent risk measure minimization. This hedging problem can be seen as a particular case of a more general situation of risk transfer between different agents, one of them consisting of the financial market. In order to provide constructive answers to this general optimal risk transfer problem, both static and dynamic approaches are considered. When considering a dynamic framework, our main purpose is to find a trade-off between static and very abstract risk measures as we are more interested in tractability issues and interpretations of the dynamic risk measures we obtain rather than the ultimate general results. Therefore, after introducing a general axiomatic approach to dynamic risk measures, we relate the dynamic version of convex risk measures to BSDEs.

연구 동기 및 목표

• 기존의 무위험가격 설정 기법이 실패하는 비완전 시장에서의 당행청구권 가격 설정 및 헤지 문제를 해결하기 위해.
• 지수 유틸리티 기반의 불확실성 가격 설정을 볼록 리스크 측도 프레임워크로 재구성하여 현금 이전 불변성 및 볼록성과 같은 핵심 경제적 성질을 유지하기 위해.
• 금융 시장 및 보험사 등 다양한 기관 간의 최적 리스크 이전을 위한 일반적 방법을 개발하기 위해, 문제를 볼록 리스크 측도의 인프-컨볼루션으로 환원하기 위해.
• BSDE와 정규화 기법을 활용하여 정적 및 동적 헤지 문제에 대한 구체적 해를 제공하기 위해.
• 동적 볼록 리스크 측도를 후행 확률 미분 방정식(BSDE)과 연결하여 시간 일관성과 해석 가능성 확보를 위해.

제안 방법

• 확실성 등가를 볼록 함수로 사용하여 유틸리티 기반 불확실성 가격 설정 문제를 리스크 측도 최소화 프레임워크로 변환한다.
• 두 기관 간 최적 리스크 이전을 모델링하기 위해 인프-컨볼루션 연산을 적용하여 문제를 두 리스크 측도의 합 최소화 문제로 환원한다.
• 볼록 함수의 확장(dilatation)을 통해 추가 제약 조건 없이 정확한 인프-컨볼루션 해를 도출한다.
• 이차 및 선형 커널을 사용한 인프-컨볼루션을 통한 모레-요시다 및 리프시츠 정규화를 활용하여 미분 가능성과 안정성을 확보한다.
• 동적 볼록 리스크 측도를 후행 확률 미분 방정식(BSDE)의 해와 연결하여 시간 일관성 있는 리스크 평가를 가능하게 한다.
• 특히 두 함수의 부분미분의 교차가 비어있지 않은 경우, 부분미분 미분법을 사용하여 최적 해를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비완전 시장에서의 불확실성 가격 설정은 어떻게 지수 유틸리티 최적화에서 벗어나 볼록 리스크 측도 기반으로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 거래가 불가능한 리스크를 가진 두 기관 간 최적 리스크 이전의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 두 볼록 리스크 측도의 인프-컨볼루션은 어떤 경우에 정확한 해를 제공하며, 이를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 동적 리스크 측도는 어떻게 구성하고 BSDE와 연결하여 시간 일관성과 해석 가능성 확보를 위한가?
• RQ5 모레-요시다 정규화와 같은 정규화 기법은 리스크 최소화 문제에서의 미분 가능성과 수치적 안정성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 지수 유틸리티에서 유도된 확실성 등가는 현금 이전 불변성을 만족하는 볼록 리스크 측도이며, 더 넓은 리스크 측도 클래스로 일반화하기에 적합하다.
• 두 리스크 측도가 동일한 기저 함수에서 확장된 경우, 그 인프-컨볼루션은 정확하며 닫힌 형태의 해를 제공한다: $ g^A \square g^B = g_{\gamma_A + \gamma_B} $.
• 한 함수가 아래로 유계이고 다른 함수가 그 회귀 함수를 포함하는 조건을 만족할 경우, 인프-컨볼루션 문제의 최적 해가 존재한다.
• 두 함수의 0점에서의 부분미분이 교차할 경우, 인프-컨볼루션은 0에서 정확하며, 두 함수가 모두 중심화되어 있을 경우 결과도 중심화된다.
• 모레-요시다 정규화는 리스크 측도의 미분 가능성을 보장하며, 그 기울기는 $ \nabla g_{[k]} = k(z - J_k(z)) $ 로 주어지고, 해석 $ J_k(z) $ 는 1-립시츠이다.
• 커널 $ b_k(z) = k|z| $ 를 통한 리프시츠 정규화는 볼록이고 리프시츠 연속인 함수를 생성하며, 정의도메인 내부 점에서 원래 함수로 점별 수렴한다.