[논문 리뷰] Pricing Interest Rate Derivatives under Volatility Uncertainty

Julian H olzermannBielefeld University|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 변동성 불확실성 하에서 이자율 파생상품을 가격 정하기 위한 강건한 프레임워크를 개발한다. G-브라운 motion을 사용해 확률적 변동성을 모델링하고, 전방 하향선형 기대를 도입해 강건한 가격 정책 공식을 유도한다. 이는 변동성 불확실성이 단일 가격이 아닌 가격 범위를 초래하고, 스토케스틱 변동성의 스파닝되지 않은 상태를 초래함을 보여준다.

ABSTRACT

We study the pricing of contracts in fixed income markets in the presence of volatility uncertainty. The starting point is an arbitrage-free bond market under volatility uncertainty. The uncertainty about the volatility is modeled by a G-Brownian motion, which drives the forward rate dynamics. The absence of arbitrage is ensured by a drift condition. Such a setting leads to a sublinear pricing measure for additional contracts, which yields either a single price or a range of prices. Similar to the forward measure approach, we define the forward sublinear expectation to simplify the pricing of cashflows. Under the forward sublinear expectation, we obtain a robust version of the expectations hypothesis and we show how to price bond options. In addition, we develop pricing methods for contracts consisting of a stream of cashflows, since the nonlinearity of the pricing measure implies that we cannot price a stream of cashflows by pricing each cashflow separately. With these tools, we derive robust pricing formulas for all major interest rate derivatives. The pricing formulas provide a link to the pricing formulas of traditional models without volatility uncertainty and show that volatility uncertainty naturally leads to unspanned stochastic volatility.

연구 동기 및 목표

• 실제 시장에서 흔한 변동성 불확실성 하에서 채권 파생상품을 가격 정하는 데 도전하는 것.
• 표준 브라운 운동을 일반화해 변동성 모호성을 允허하는 G-브라운 motion을 사용해 변동성 불확실성을 모델링하는 것.
• 하향선형 기대 하에서 전방 수익률 동역학에 대한 드리프트 조건을 도입해 무위험 거래의 부재를 보장하는 것.
• 비선형 가격 정책 측도 하에서 현금흐름 스트림을 체계적으로 가격 정하는 방법을 개발하여 덧셈 가격 정책의 한계를 극복하는 것.
• 전통적 모델과 연관지으면서도 변동성 불확실성의 영향을 반영하는 주요 이자율 파생상품에 대한 강건한 가격 정책 공식을 도출하는 것.

제안 방법

• G-브라운 motion을 사용해 변동성 불확실성을 모델링하고, 이는 모델의 모호성을 표현하는 하향선형 기대 프레임워크를 유도한다.
• 현금흐름의 가격 정책을 단순화하기 위해 자산 기준을 전방 측도로 이동시키는 전방 하향선형 기대를 정의한다.
• 하향선형 기대 하에서 기대의 가정을 강건하게 재구성하여, 전방 수익률이 반드시 마틴갈라가 아니지만 하향선형 버전을 만족함을 보여준다.
• G-브라운 motion 하에서 전방 수익률의 동역학과 전방 하향선형 기대를 사용해 채권 옵션에 대한 명시적 가격 정책 공식을 도출한다.
• 하향선형 측도의 비선형성으로 인해 개별 할인 가치의 합산이 불가능하므로, 현금흐름 스트림을 개별적으로 처리하는 대신 전체적으로 다루는 분해 방법을 개발한다.
• 변동성 불확실성이 사라질 경우 공식이 표준 공식으로 수렴함을 보여줌으로써 강건한 가격 정책 공식이 기존 모델과 일관됨을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 변동성이 알려지지 않은 채, 변동성의 범위 내에 있을 때 이자율 파생상품을 어떻게 강건하게 가격 정할 수 있는가?
• RQ2 변동성 불확실성 하에서 전방 측도와 기대의 가정의 적절한 일반화 방법은 무엇인가?
• RQ3 하향선형 가격 정책 측도의 비선형성은 다수의 현금흐름에 대한 가격 정책에 어떻게 영향을 미치며, 덧셈 가격 정책과 어떻게 다를까?
• RQ4 어떤 방식으로 변동성 불확실성이 이자율 파생상품에서 스파닝되지 않은 스토케스틱 변동성으로 이어지는가?
• RQ5 강건한 이자율 파생상품 가격 정책 공식은 변동성 모호성이 없는 고전적 모델의 공식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• G-브라운 motion의 사용은 변동성 불확실성을 일관되게 모델링할 수 있게 하며, 이는 단일 가격이 아닌 가격의 범위를 생성하는 하향선형 가격 정책 측도를 유도한다.
• 전방 하향선형 기대는 전방 측도 하에서 전방 수익률이 하향선형 마틴갈라임을 보장하는 강건한 기대의 가정을 가능하게 한다.
• 하향선형 프레임워크 하에서 채권 옵션의 가격 정책이 명시적으로 유도되었으며, 이는 변동성 불확실성 하에서 고전적 블랙 모델 대비 옵션 가격이 더 높아짐을 보여준다.
• 하향선형 측도의 비선형성은 현금흐름 가격 정책의 가산성을 무효화하며, 모델 리스크를 피하기 위해 현금흐름 스트림을 함께 다뤄야 함을 필요로 한다.
• 변동성 불확실성이 감소할 경우 이자율 파생상품에 대한 강건한 가격 정책 공식은 고전적 공식으로 수렴함을 보여주며, 존재하는 모델과의 일관성을 입증한다.
• 변동성 불확실성은 자연스럽게 스파닝되지 않은 스토케스틱 변동성으로 이어지며, 이는 전방 수익률의 변동성을 기초 자산의 채권 거래로 완전히 헤지할 수 없음을 의미한다.