[논문 리뷰] Pricing of average strike Asian call option using numerical PDE methods

Abhishek Kumar, Ashwin Waikos외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 산술 평균 행사가 아시안 콜 옵션을 정가하기 위한 새로운 수치적 PDE 방법을 제안한다. 크랭크-니콜슨 은둔 방법과 고차수 근접 유한차분 방법을 사용한다. 결과적으로 두 PDE 방법 모두 몽테카를로 시뮬레이션과 매우 유사한 옵션 가격을 도출하였으며, 특히 저변동성 수준에서 고차수 근접 방법이 뛰어난 정확도를 보였다. 이는 평균 행사가 아시안 옵션에 대해 PDE 방법을 적용한 최초의 알려진 사례이다.

ABSTRACT

In this paper, a standard PDE for the pricing of arithmetic average strike Asian call option is presented. A Crank-Nicolson Implicit Method and a Higher Order Compact finite difference scheme for this pricing problem is derived. Both these schemes were implemented for various values of risk free rate and volatility. The option prices for the same set of values of risk free rate and volatility was also computed using Monte Carlo simulation. The comparative results of the two numerical PDE methods shows close match with the Monte Carlo results, with the Higher Order Compact scheme exhibiting a better match. To the best of our knowledge, this is the first work to use the numerical PDE approach for pricing Asian call options with average strike.

연구 동기 및 목표

• 산술 평균 행사가 아시안 콜 옵션, 즉 경로에 따라 결정되는 지급을 가지는 이국적 옵션을 정가하기 위한 수치적 PDE 방법을 개발하고 구현하는 것.
• 몽테카를로 시뮬레이션의 계산적 제약과 불확실성을 극복하기 위해 PDE 기반의 대안을 도입하는 것.
• 기준 몽테카를로 시뮬레이션과 비교하여 두 수치적 스킴—크랭크-니콜슨 은둔 및 고차수 근접—의 성능와 정확도를 평가하는 것.
• 수치적 PDE 방법이 평균 행사가 아시안 옵션에 효과적으로 적용될 수 있음을 입증하는 것. 이 분야는 이전까지 몽테카를로 방법에 의해 지배되어 왔다.

제안 방법

• 논문은 비용 변수 $ R(t) = \frac{1}{S(t)} \int_0^t S(u) du $ 를 사용하여 옵션 가격에 대한 후행 PDE를 유도하며, 이는 세 차원 문제를 $ R $ 에 대한 일차원 PDE로 감소시킨다.
• 변환된 PDE는 $ \frac{\partial H}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 R^2 \frac{\partial^2 H}{\partial R^2} + (1 - rR) \frac{\partial H}{\partial R} = 0 $ 이며, 적절한 최종 및 경계 조건을 포함한다.
• 2차 정확도를 지닌 크랭크-니콜슨 은둔 방법과 4차 정확도를 지닌 고차수 근접 유한차분 스킴을 사용하여 PDE를 수치적으로 해결한다.
• 해 $ H(R, t) $ 는 균일한 격자 위에서 계산되며, 옵션 가격은 $ V(S(0), R(0), 0) = S(0) H(R(0), 0) $ 로 복원된다.
• 검증을 위해 50,000개의 경로를 사용한 몽테카를로 시뮬레이션을 기준으로 삼으며, 평균 할인 지급을 계산한다.
• 성능 평가 기준은 정확도(몽테카를로와의 비교) 및 계산 효율성(CPU 시간)이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술 평균 행사가 아시안 콜 옵션—경로에 따라 결정되는 이국적 옵션—에 대해 수치적 PDE 방법을 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 이 정가 문제에 대해 크랭크-니콜슨 은둔 방법과 고차수 근접 스킴 간의 정확도와 효율성은 어떻게 비교되는가?
• RQ3 자유금리와 변동성의 다양한 조합에서 PDE 기반 결과가 기준 몽테카를로 시뮬레이션 결과와 얼마나 일치하는가?
• RQ4 고차수 근접 스킴이 평균 행사가 아시안 옵션에 대해 두 번째 차수 크랭크-니콜슨 방법보다 정확도 면에서 뛰어나게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 크랭크-니콜슨 은둔 방법은 몽테카를로 결과와 매우 유사한 옵션 가격을 도출하였으며, CPU 시간은 0.5초 이내로 몽테카를로의 4초 이상보다 훨씬 빠르게 작동하였다.
• 고차수 근접 스킴은 크랭크-니콜슨 방법보다 몽테카를로 결과와 더 나은 일치를 보였으며, 특히 저변동성 수준(예: σ = 0.05)에서 두드러졌다.
• r = 0.06, 0.1, 0.2 및 σ = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 의 모든 시험 조합에서 PDE 방법은 몽테카를로 기준과 강한 일致성을 보였다.
• 고차수 근접 스킴은 4차 공간 정확도를 달성하여 크랭k-니콜슨 방법의 2차 정확도보다 더 정확한 옵션 가격 추정치를 제공하였다.
• 두 PDE 스킴의 계산 비용은 몽테카를로보다 극적으로 낮았으며, CPU 시간은 항상 0.5초 이내로 유지되었고, 몽테카를로는 4초 이상 소요되었다.
• 저자들의 지식으로는 이는 평균 행사가 아시안 콜 옵션에 수치적 PDE 방법을 적용한 최초의 작업이며, 이 분야의 새로운 기준을 설정하였다.