[논문 리뷰] Pricing options with VG model using FFT

Andrey Itkin|arXiv (Cornell University)|2005. 03. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 변동성 게이지(Variance Gamma, VG) 모델 하에서 유럽식 셀옵션 가격 결정을 위한 수치적 방법을 평가하며, 널리 사용되는 Carr-Madan FFT 방법이 특정 파rameter 값에서 실패할 수 있음을 규명한다. 이를 바탕으로 안정적인 대안으로 레이지의 정규화와 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법을 제안하고 검증하며, 모든 VG 파rameter에서 정확도와 수렴성을 유지함과 동시에 FFT에 비해 폭주 문제 없이 유사한 성능을 보인다.

ABSTRACT

We discuss various analytic and numerical methods that have been used to get option prices within a framework of the VG model. We show that some popular methods, for instance, Carr-Madan's FFT method could blow up for certain values of the model parameters even for an European vanilla option. Alternative methods - one originally proposed by Lewis, and Black-Scholes-wise method are considered that seem to work fine for any value of the VG parameters. Test examples are given to demonstrate efficiency of these methods. Convergency of all methods is also discussed.}

연구 동기 및 목표

• 변동성 게이지(Variance Gamma, VG) 모델 하에서 유럽식 셀옵션을 가격 결정하는 데 사용되는 수치적 방법의 신뢰성과 수렴성에 대해 조사한다.
• 기본적인 유럽식 셀옵션에 대해서도 특정 VG 파arameter 설정에서 Carr-Madan FFT 방법이 실패하는 경우를 규명한다.
• 모든 파arameter 영역에서 안정성과 정확도를 유지하는 대안 방법—레이지의 정규화 및 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법—을 평가한다.
• 테스트 케이스를 활용하여 모든 방법의 수렴 특성, 계산 효율성, 수치적 안정성 간 비교를 수행한다.
• 실증적 성능와 안정성에 기반해 VG 프레임워크 내에서 신뢰할 수 있는 옵션 가격 결정을 위한 실용적 권고안을 제공한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 브라운 운동을 통해 유도된 VG 과정의 특성 함수를 활용하여 푸리에 기반 옵션 가격 결정을 가능하게 한다.
• 감쇠된 콜옵션 가격의 푸리에 변환을 역행렬화하기 위해 Carr-Madan FFT 방법을 적용하며, 계산 효율성을 높이기 위해 빠른 푸리에 변환(Fast Fourier Transform)을 사용한다.
• 레이지의 정규화 방법을 구현하며, 복소수 이동을 포함한 특성 함수를 이용한 적분 표현을 통해 수렴성을 향상시킨다.
• 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법을 개발하며, VG 옵션 가격에서 블랙-쇼스 성분을 해석적으로 빼내어 FFT 오차를 감소시킨다.
• 수치적 적분과 다양한 격자 크기(N = 256에서 8192까지)를 사용한 FFT를 통해 방법 간의 수렴성과 오차 행동을 평가한다.
• 다양한 VG 파arameter(σ, ν, θ)와 만기(T)를 가진 표준화된 테스트 케이스를 사용하여 계산 시간과 정확도를 방법 간 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Carr-Madan FFT 방법은 변동성 게이지(VG) 모델 하에서 유럽식 셀옵션을 가격 결정할 때 어떤 조건에서 실패하는가?
• RQ2 레이지의 정규화 방법과 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법의 수렴 속도와 수치적 안정성은 다양한 VG 파arameter 조합에서 FFT 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법은 폭주 문제 없이 FFT에 비해 유사한 정확도와 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ4 레이지 방법에서의 복소수 이동 파arameter μ₁은 수렴성과 절단 오차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 세 방법의 계산 시간은 스트라이크 수와 모델 파aram터의 수에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• Carr-Madan FFT 방법은 특정 VG 파arameter 값에서 특성 함수의 역행렬화에 의한 불안정성으로 인해, 기본적인 유럽식 바닐라 옵션에 대해서도 폭주할 수 있다.
• 레이지의 정규화 방법과 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법은 테스트된 모든 VG 파aram터에서 안정적인 수렴을 보이며, 폭주 현상은 관찰되지 않았다.
• 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법은 주요 항을 정확한 해석적 해로 대체함으로써 FFT 오차를 감소시켜 정확도를 향상시킨다.
• 레이지의 방법과 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법의 수렴 행동은 유사한 반면, ITM(내재된) 옵션을 제외한 OTM(내재되지 않은) 옵션의 경우 Carr-Madan은 낮은 N(예: N=256)에서 더 빠른 수렴 속도를 보였다.
• 계산 시간 분석 결과, 레이지 방법은 Carr-Madan과 유사한 속도(0.031–0.047초)를 보였고, 블랙-쇼스스럽게 접근하는 방법은 약 두 배 느린(0.062–0.078초) 수준이었지만 여전히 효율적이었다.
• 레이지 방법의 성능는 μ₁의 선택에 매우 민감하며, 최적화되지 않은 값은 큰 절단 오차나 이산화 오차를 유발하므로 파arameter에 따라 조정이 필요하다.