[논문 리뷰] Pricing path-dependent Bermudan options using Wiener chaos expansion: an embarrassingly parallel approach

Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 17.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정책 반복에서 전통적인 최소 제곱 회귀를 대체하기 위해 위erner 카오스 전개(Wiener chaos expansion, WCE)를 사용하여 경로에 따라 변하는 버마디안 콜옵션을 가격화하기 위한 새로운, 매우 병렬화 가능한 알고리즘을 소개한다. 조건부 기대값을 독립적인 몬테카를로 샘플링을 통해 계산된 WCE 계수를 통해 $ L^2 $-직교 프로젝션으로 표현함으로써, 마코프 성질을 가정하지 않고도 고도로 스케일러블하고 통신 비용이 낮은 병렬 처리를 가능하게 하며, 슈퍼컴퓨터에서 256코어에서 76%의 효율성과 32배의 가속도를 달성한다.

ABSTRACT

In this work, we propose a new policy iteration algorithm for pricing Bermudan options when the payoff process cannot be written as a function of a lifted Markov process. Our approach is based on a modification of the well-known Longstaff Schwartz algorithm, in which we basically replace the standard least square regression by a Wiener chaos expansion. Not only does it allow us to deal with a non Markovian setting, but it also breaks the bottleneck induced by the least square regression as the coefficients of the chaos expansion are given by scalar products on the L^2 space and can therefore be approximated by independent Monte Carlo computations. This key feature enables us to provide an embarrassingly parallel algorithm.

연구 동기 및 목표

• 경로에 따라 변하는 버마디안 콜옵션을 가격화할 때 발생하는 계산적 병목 현상을 해결하기 위해, 특히 수익률 과정이 마코프가 아닐 경우에 대비한다.
• 롱스타프-스미스 알고리즘에서 표준 최소 제곱 회귀의 한계를 극복하기 위해, 차원 수가 증가함에 따라 성능이 급격히 떨어지고 병렬 처리 효율성이 떨어지는 문제를 해결한다.
• 위너 카오스 전개를 활용하여 경로에 따라 변하는 옵션을 유럽식 옵션과 유사하게 처리할 수 있는 일반적이고 블랙박스 형태의 옵션 가격 설정 프레임워크를 개발한다.
• 독립적인 몬테카를로 경로 간의 WCE 계수 추정을 분리함으로써 매우 병렬화 가능한 고성능 계산을 가능하게 한다.
• 실제 모델인 헤스턴 모델과 이동 평균 옵션에 대해 고성능 컴퓨팅 환경에서 강력한 스케일러비리티와 정확성을 입증한다.

제안 방법

• 정책 반복의 표준 최소 제곱 회귀 단계를 조건부 기대값 $ \mathbb{E}[U_{T_{k+1}} \mid \mathcal{F}_{T_k}] $ 를 근사하기 위해 위너 카오스 전개(WCE)로 대체한다.
• 조건부 기대값을 헤르미트 다항식의 유한 차원 공간에 대한 프로젝션으로 표현하며, 계수는 $ \widehat{\lambda}^M_k = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^M U^{(i)}_{T_{k+1}} \cdot H_k(\xi^{(i)}) $ 로 계산한다. 여기서 $ \xi^{(i)} $ 는 표준 정규 분포를 따르는 변량이다.
• 헤르미트 다항식의 $ L^2 $-직교성을 활용하여 몬테카를로 경로 간에 계수를 독립적으로 계산할 수 있도록 하여, 매우 병렬화 가능한 구현을 가능하게 한다.
• 이중 단계 병렬 전략을 사용한다: 각 계산 노드가 경로를 샘플링하고 국부적 WCE 계수를 계산한 후, 전역적으로 집계(모든 노드 간 통신)하여 계수를 집계하고 모든 노드에 브로드캐스트한다.
• WCE 기반 조건부 기대값을 정책 반복 루프에 통합하여, 각 행사 일자에서 근사된 계속 가치를 사용해 최적의 정지 규칙을 업데이트한다.
• WCE 계수 추정의 분산에서 발생하는 편향을 줄이기 위해 충분한 몬테카를로 샘플 수($ M = 10^6 $ 또는 $ 10^7 $)를 사용하여 수치적 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마코프 설정에서 버마디안 옵션 가격 설정의 정책 반복에 위너 카오스 전개를 최소 제곱 회귀의 대체로 사용할 수 있는가?
• RQ2 헤르미트 다항식의 직교성은 고차원 또는 경로에 따라 변하는 옵션 가격 설정에서 조건부 기대값을 계산하는 데 있어 매우 병렬화 가능한 알고리즘을 가능하게 하는가?
• RQ3 이동 평균 또는 헤스턴 모델 옵션과 같은 경로에 따라 변하는 옵션에 적용했을 때, 제안된 방법의 계산 효율성과 가속도는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 몬테카를로 샘플 수가 표준 롱스타프-스미스 방법 대비 WCE 기반 가격 설정 알고리즘의 편향과 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 위너 카오스 전개 기반 접근법을 카르리에 다항식을 통합하여 레비 과정으로 확장할 수 있으며, 이는 기존 방법 대비 병렬 스케일러비리티 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 WCE 기반 정책 반복 알고리즘은 256코어에서 32배의 가속도를 달성하여 순차적 실행 시 1.5시간이었던 계산 시간을 24초로 단축했으며, 병렬 효율성이 76%에 이르렀다.
• 초기 512코어에서도 높은 효율성(최대 0.86)을 유지하여 슈퍼컴퓨터의 3204코어 환경에서 강력한 스케일러비리티를 입증했다.
• 이동 평균 수익률을 가진 헤스턴 모델의 경우, $ M = 10^7 $ 샘플과 $ p = 3 $ 를 사용해 WCE 방법으로 1.72274의 가격을 도출했으며, $ 10^6 $ 샘플과 3차 다항식을 사용한 롱스타프-스미스 결과와 1% 이내로 일치했다.
• $ M = 10^5 $ 샘플을 사용한 경우, 샘플 수가 부족해 발생하는 편향으로 인해 약간 높은 가격이 도출되었으며, 이는 WCE 계수 추정의 분산에서 기인하는 체계적 편향이 있음을 확인했다.
• 이 방법은 경로 의존성에 강건하다: 이동 평균 옵션처럼 전체 경로 역사에 따라 수익률이 결정되는 옵션을 마코프 라이프 없이도 성공적으로 가격 설정할 수 있다.
• 알고리즘은 일반적이며 블랙박스로 구현 가능하다: 유럽식 옵션 가격 설정과 유사하게, 브라운 운동 경로와 해당 수익률 샘플만 필요로 한다.