[논문 리뷰] Pricing Spread Options under Stochastic Correlation and Jump-Diffusion Models

Olivares, Pablo, Cane, Matthew|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이변량 모델에서 변동성과 상관계수가 스토크래틱한 상황, CIR 모형을 통한 변동성, 그리고 점프-디퓨전 과정을 고려할 때, 이변량 빠른 푸리에 변환(FFT)을 사용하여 스프레드 옵션을 빠르고 정확하게 가격 설정하는 방법을 제안한다. 두 개의 공동 정규 분포 점프 및 스토크래틱 변동성 모델에 대한 특성 함수를 유도함으로써, 저자들은 몬테카를로 방법보다 수개의 주기 빠른 계산 효율성을 달성하면서도 복잡한 시장 특성인 변동성 스마일과 상관계수 스마일을 잘 반영한다.

ABSTRACT

This paper examines the problem of pricing spread options under some models with jumps driven by Compound Poisson Processes and stochastic volatilities in the form of Cox-Ingersoll-Ross(CIR) processes. We derive the characteristic function for two market models featuring joint normally distributed jumps, stochastic volatility, and different stochastic dependence structures. With the use of Fast Fourier Transform(FFT) we accurately compute spread option prices across a variety of strikes and initial price vectors at a very low computational cost when compared to Monte Carlo pricing methods. We also look at the sensitivities of the prices to the model specifications and find strong dependence on the selection of the jump and stochastic volatility parameters. Our numerical implementation is based on the method developed by Hurd and Zhou (2009).

연구 동기 및 목표

• 블랙-쇼스 모형이 실증적 시장 특성인 변동성 스마일과 점프를 잘 반영하지 못하는 한계를 해결하기 위해.
• 기존 모델을 확장하여 다변량 환경에서 스토크래틱 상관계수와 점프-디퓨전 역학을 동시에 통합하기 위해.
• 이러한 복잡한 역학 하에서 스프레드 옵션을 가격 설정하기 위한 효율적인 계산 프레임워크를 개발하기 위해.
• FFT 기반 방법의 성능와 정확도를 기존 몬테카를로 시뮬레이션과 비교하기 위해.
• 옵션 가격이 주요 모델 파라미터, 특히 점프 및 스토크래틱 변동성 구성요소에 얼마나 민감한지 분석하기 위해.

제안 방법

• 공동 정규 분포 점프, CIR 스토크래틱 변동성, 그리고 서로 다른 스토크래틱 의존성 구조를 포함하는 두 개의 다변량 시장 모델에 대한 특성 함수를 유도한다.
• 후르드와 주우(2009)의 이변량 역푸리에 변환 방법을 점프 및 스토크래틱 상관계수를 포함하는 모델에 적응시킨다.
• 스프레드 옵션 가격을 효율적으로 계산하기 위해 2차원 격자에 대해 빠른 푸리에 변환(FFT)을 적용한다.
• FFT 구현에서 절단 오차와 이산화 오차를 제어하기 위해 덤핑 파라미터와 최적의 스텝 사이즈 알고리즘을 사용한다.
• 기준 파라미터 세트를 사용하여 모델을 校정하고 몬테카를로 시뮬레이션 결과와 검증한다.
• FFT 파라미터(예: 덤핑, 스텝 사이즈, 절단 간격)에 대한 수치적 점검을 통해 정확성과 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토크래틱 상관계수와 점프-디퓨전 역학을 포함할 경우, 기존 표준 모델과 비교해 스프레드 옵션 가격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 FFT 기반 방법은 점프와 스토크래틱 변동성을 포함하는 이러한 복잡한 다변량 모델 하에서 스프레드 옵션에 대해 높은 정확도와 빠른 계산 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 옵션 가격은 점프 크기 분산, 점프 강도, 스토크래틱 변동성 파라미터의 변화에 얼마나 민감한가?
• RQ4 이러한 모델 하에서 이변량 FFT의 수치적 안정성과 오차 특성은 어떠한가?
• RQ5 모델의 내재 변동성 및 상관계수 스마일은 관측된 시장 패턴과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• FFT 기반 방법은 몬테카를로 시뮬레이션보다 높은 정확도와 훨씬 낮은 계산 비용으로 스프레드 옵션 가격을 계산한다.
• 옵션 가격은 점프 크기 분산에 따라 비선형적으로 증가하며, 점프 분산이 0.02에서 0.2로 증가할 경우 40%의 가격 상승이 관찰되었다.
• 장기 자산의 점프 분산은 단기 자산의 점프 분산보다 옵션 가격에 더 큰 영향을 미치며, 이는 스프레드 분포에 더 큰 영향을 미치기 때문이다.
• 모델은 점프 및 스토크래틱 변동성 파라미터에 매우 민감하게 반응하여 정교한 校정이 필요함을 시사한다.
• FFT 방법은 스텝 사이즈 및 절단 간격의 변화에 대해 강건하며, 다양한 N 및 ūmin 값에서도 가격 변동이 최소한이다.
• 덤핑 파라미터(ε)는 총적으로 작은 영향을 미치지만, ε₁ - ε₂ - 1 < 0.2일 경우 오류가 발생함을 보여주며, 이는 불안정성의 좁은 범위를 시사한다.