[논문 리뷰] Pricing variance swaps under Levy process with stochastic volatility and CIR interest rate

Ben-Zhang Yang, Yue Jia외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 헤스턴 확산 볼라티리티, CIR 확산 이자율, 그리고 레비 점프를 조합한 하이브리드 금융 모델 하에서 변동성 스왑에 대한 폐쇄형 가격 모델을 제안한다. 정규화된 측도로의 변환과 애फ인 구조 및 마팅글 성질을 활용하여 공정 거래 가격을 유도하였으며, 점프 리스크가 스왑 가치를 크게 증가시키고, 확산 이자율도 가격 책정에 중요한 역할을 한다는 것을 보여주었다.

ABSTRACT

This study focuses on the pricing of the variance swap in the financial market where the stochastic interest rate and the volatility of the stock are driven by Cox-Ingersoll-Ross model and Heston model with simultaneous L\'{e}vy jumps, respectively. After transforming the physical probability measure to the forward measure, we obtain a closed-form solution of the related moment-generating function having the martingale property and the affine structure. Moreover, we get the fair delivery price of the variance swap via the derivation of the moment-generating function under some mild conditions. Finally, some numerical examples are given to show that the values of variance swaps not only depend on the stochastic interest rates but also are higher in the presence of jump risks.

연구 동기 및 목표

• 확산 볼라티리티, 확산 이자율, 점프 리스크를 수반한 시장에서 변동성 스왑에 대한 실용적인 가격 책정 프레임워크를 개발하기 위해.
• 하이브리드 레비 기반 프레임워크 내에서 확산 볼라티리티를 위한 헤스턴 모델과 확산 이자율을 위한 CIR 모델을 통합하기 위해.
• 정규화된 측도 하에서 실현된 변동성의 모멘트 생성 함수에 대한 폐쇄형 해를 도출하여 공정 가치 계산을 가능하게 하기 위해.
• 점프 리스크와 확산 이자율이 변동성 스왑 가격 책정에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 점프와 확산 이자율과 같은 모델 구성 요소에 대한 민감도를 보여주는 수치적 증거를 제공하기 위해.

제안 방법

• 변동성 스왑 수익의 역동성을 단순화하기 위해 물리적 확률 측도를 정규화된 측도로 변환하기 위해.
• 기초 확률 과정의 애फ인 구조를 활용하여 실현된 변동성의 모멘트 생성 함수를 도출하기 위해.
• 정규화된 측도 하에서 모멘트 생성 함수가 마팅글 성질을 만족하도록 보장하여 위험 중립적 가격 책정을 가능하게 하기 위해.
• 헤스턴 볼라티리티와 CIR 이자율의 결합 역동성 하에서 특성 함수를 해결하기 위해 애फ인 변환 방법론을 적용하기 위해.
• 약한 정규성 조건 하에서 정규화된 측도 하에서 모멘트 생성 함수를 통해 변동성 스왑의 공정 거래 가격을 도출하기 위해.
• 갑작스러운 시장 움직임을 반영하기 위해 점프를 볼라티리티 및 이자율 과정 양쪽에 통합하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼라티리티 및 이자율 과정 양쪽에 레비 점프를 포함할 경우 변동성 스왑 가격 책정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 헤스턴 볼라티리티와 CIR 이자율을 포함한 하이브리드 모델 하에서 실현된 변동성의 모멘트 생성 함수에 대해 폐쇄형 해를 도출할 수 있는가?
• RQ3 확산 이자율이 변동성 스왑의 공정 거래 가격에 어느 정도의 영향을 미치는가?
• RQ4 순수 확산 모델 대비 점프 리스크는 변동성 스왑 가치의 크기와 리스크 프리미엄에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 애फ인 구조와 정규화된 측도 변환은 이 다요인 설정에서 변동성 스왑 가격 책정의 해석 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정규화된 측도 하에서 애फ인 역동성과 마팅글 조건을 활용하여 실현된 변동성의 모멘트 생성 함수를 폐쇄형으로 도출하였다.
• 약한 기술적 조건 하에서 유도된 모멘트 생성 함수를 통해 변동성 스왑의 공정 거래 가격을 명시적으로 확보하였다.
• 수치적 결과는 점프 리스크 존재 시 변동성 스왑 가치가 높아지며, 이는 상당한 점프 리스크 프리미엄을 시사한다.
• CIR 과정을 통해 모델링된 확산 이자율은 일정한 이자율을 가정하는 모델과는 달리 변동성 스왑 가격 책정에 무시할 수 없는 영향을 미친다.
• 이 모델은 확산 볼라티리티, 확산 이자율, 점프의 상호작용을 포괄하여 더 풍부하고 현실적인 가격 책정 프레임워크를 제공한다.
• 애फ인 구조와 정규화된 측도 변환은 주요 시장 특성인 점프 집중 현상과 평균 회귀를 유지하면서도 분석적 해석 가능성을 보장한다.