[논문 리뷰] Primal dual methods for Wasserstein gradient flows

José A. Carrillo, Katy Craig외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 23.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 79인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 최적 운반 이론과 연산자 분할을 조합하여 다공성 매체, 재료 과학, 생물 군집 운동에서 나타나는 비선형·비국소 PDE를 해결하기 위한 새로운 원시-이중 수치 방법을 제안한다. 시간 이산화를 위해 JKO 또는 크랭크-니콜슨 스킴을 사용하고, 워샤르슈타인 거리의 벤아모-브리엔리 동적 공식을 통해 문제를 재구성하며, 수렴성이 보장되는 원시-이중 알고리즘을 통해 선형 제약 조건이 있는 볼록 최적화 문제를 해결함으로써 안정성, 질량 보존, 양수성, 에너지 감소 성질을 확보하고 시뮬레이션에서 고차원 수렴성을 달성한다.

ABSTRACT

Combining the classical theory of optimal transport with modern operator splitting techniques, we develop a new numerical method for nonlinear, nonlocal partial differential equations, arising in models of porous media, materials science, and biological swarming. Our method proceeds as follows: First, we discretize in time, either via the classical JKO scheme or via a novel Crank-Nicolson type method we introduce. Next, we use the Benamou-Brenier dynamical characterization of the Wasserstein distance to reduce computing the solution of the discrete time equations to solving fully discrete minimization problems, with strictly convex objective functions and linear constraints. Third, we compute the minimizers by applying a recently introduced, provably convergent primal dual splitting scheme for three operators [Yan 2018]. By leveraging the PDEs' underlying variational structure, our method overcomes stability issues present in previous numerical work built on explicit time discretizations, which suffer due to the equations' strong nonlinearities and degeneracies. Our method is also naturally positivity and mass preserving and, in the case of the JKO scheme, energy decreasing. We prove that minimizers of the fully discrete problem converge to minimizers of the spatially continuous, discrete time problem as the spatial discretization is refined. We conclude with simulations of nonlinear PDEs and Wasserstein geodesics in one and two dimensions that illustrate the key properties of our approach, including higher order convergence our novel Crank-Nicolson type method, when compared to the classical JKO method.

연구 동기 및 목표

• 워샤르슈타인 기울기 흐름에 의해 지배되는 비선형·비국소 PDE에 대해 안정성, 양수성 유지, 질량 보존이 보장되는 수치적 방법을 개발한다.
• 이러한 PDE에서 강한 비선형성과 비가역성으로 인해 발생하는 명시적 시간 이산화의 안정성 문제를 해결한다.
• 벤아모-브리엔리 공식을 통해 방정정의 변분적 구조를 활용하여 완전 이산화된 볼록 최적화를 가능하게 한다.
• 에너지 감소 및 질량 보존 성질을 유지하는 수렴성이 보장된 수치적 스킴을 제공한다.
• 새로운 크랭크-니콜슨 유형의 시간 이산화를 사용한 시뮬레이션을 통해 고차원 수렴성을 입증한다.

제안 방법

• 시간 이산화를 위해 고전적 JKO 스킴 또는 새로 제안된 크랭크-니콜슨 유형의 스킴을 사용하여 시간 정확도를 향상시킨다.
• 워샤르슈타인 거리를 벤아모-브리엔리 동적 특성화를 통해 재구성하여 PDE의 진동을 시간 통합 최적화 문제로 변환한다.
• 결과적으로 얻어진 완전 이산 문제는 엄밀히 볼록인 목적 함수와 선형 제약 조건을 가지며, 유일한 최소화자를 보장한다.
• 최근 개발된 세 개의 연산자에 대한 원시-이중 분할 스킴을 적용하여 최소화 문제를 해석하고 수렴성을 보장한다.
• 기초적인 변분적 구조와 제약 조건 강제로 인해 방법은 양수성과 질량 보존을 구성적으로 유지한다.
• 공간 해상도를 높일수록 이산 최소화자가 연속 문제로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워샤르슈타인 기울기 흐름에서 유래하는 비선형·비국소 PDE에 대해 안정성과 수렴성을 보장하는 원시-이중 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 제안된 크랭크-니콜슨 유형의 시간 이산화 방식은 고전적 JKO 스킴과 비교해 수렴 차수에서 어떻게 다를까?
• RQ3 이 방법은 수렴성이 보장되는 조건에서 워샤르슈타인 지오데식과 지오데식 거리를 계산하는 데로 확장될 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 변분적 구조에 기반해 질량과 양수성을 내재적으로 유지하는가?
• RQ5 공간 해상도를 높일수록 이산 최소화자의 수렴 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 새로운 크랭크-니콜슨 유형의 스킴을 사용할 경우 시간에 대해 고차원 수렴성을 달성하여 시뮬레이션에서 고전적 1차 수준의 JKO 스킴을 능가한다.
• 최적화 공식의 변분적 구조와 제약 조건 강제로 인해 방법은 본질적으로 양수성과 질량 보존을 유지한다.
• 이산 기울기 흐름 시퀀스를 따라 에너지가 감소하며, 연속 기울기 흐름의 에너지 감소 성질을 만족한다.
• 공간 해상도를 높일수록 완전 이산 문제의 최소화자가 연속적·이산적 문제의 최소화자로 수렴한다.
• 이 방법은 워샤르슈타인 지오데식과 지오데식 거리를 계산하기 위한 수렴성이 보장된 수치적 스킴을 제공한다 (특수 케이스로).
• 1차원 및 2차원에서의 수치 시뮬레이션은 이 방법이 다공성 매체 방정정 및 포크너-플랭크 방정식을 포함한 복잡한 PDE에 대해 안정성, 정확도, 강건성을 잘 유지함을 확인한다.