[논문 리뷰] Prime congruences of idempotent semirings and a Nullstellensatz for tropical polynomials

Dániel Joó, Kalina Mincheva|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 17.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 10인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 덧셈에서의 아이디포텐트 성질을 갖는 반군에서 비틀린 곱을 이용해 새로운 소수 합동의 개념을 도입하며, ${\mathbb{T}}$, ${\mathbb{Z}}_{\max}$ 또는 ${\mathbb{B}}$ 위의 다항식 또는 로렌트 다항식 반군에서 유한 생성된 합동의 루트가 크룰 차원이 1 이하인 몫을 갖는 소수 합동의 교집합임을 보여, 트로피컬 Nullstellensatz를 수립한다. 최소 소수 합동은 단항식 순서와 대응되며, 루트는 일반화된 비틀린 거듭제곱 공식으로 특징지어진다.

ABSTRACT

A new definition of prime congruences in additively idempotent semirings is given using twisted products. This class turns out to exhibit some analogous properties to the prime ideals of commutative rings. In order to establish a good notion of radical congruences it is shown that the intersection of all primes of a semiring can be characterized by certain twisted power formulas. A complete description of prime congruences is given in the polynomial and Laurent polynomial semirings over the tropical semifield ${\pmb T}$, the semifield $\mathbb{Z}_{max}$ and the two element semifield $\mathbb{B}$. The minimal primes of these semirings correspond to monomial orderings, and their intersection is the congruence that identifies polynomials that have the same Newton polytope. It is then shown that every finitely generated congruence in each of these cases is an intersection of prime congruences with quotients of Krull dimension $1$. An improvement of a result of A. Bertram and R. Easton from 2013 is proven which can be regarded as a Nullstellensatz for tropical polynomials.

연구 동기 및 목표

• 덧셈에서 아이디포텐트 성질을 갖는 반군에서 기존의 가환환에서의 소수 이상과 유사한 성질을 갖는 소수 합동의 강력한 개념을 개발하기 위해.
• 합동의 루트를 크룰 차원이 1 이하인 몫을 갖는 소수 합동의 교집합으로 특징짓기 위해.
• 합동의 루트를 뉴턴 다면체와 단항식 순서와 같은 기하학적·조합론적 자료와 연결함으로써 트로피컬 Nullstellensatz를 수립하기 위해.
• 모든 소수 합동의 교집합이 일반화된 비틀린 거듭제곱 공식을 통해 기술될 수 있음을 보여주기 위해.
• ${\mathbb{T}}$, ${\mathbb{Z}}_{\max}$ 및 ${\mathbb{B}}$ 위의 다항식 및 로렌트 다항식 반군에서 소수 합동을 완전히 분류하기 위해.

제안 방법

• 소수 이상의 특성과 유사하게, 쌍의 비틀린 곱이 합동에 속하지 않는 경우를 통해 소수 합동을 정의함으로써, 링 이론적 소수 이상의 특성에 영감을 얻음.
• 합동의 루트에 속하는지 여부를 특징짓기 위해 일반화된 비틀린 거듭제곱 공식을 도입함.
• 단항식 순서와 관련된 정의 행렬을 사용하여 다항식 및 로렌트 다항식 반군에서 소수 합동을 분류함.
• 로바니오의 단항식 순서 분류를 적용하여 최소 소수 합동이 이러한 순서와 대응됨을 보임.
• 가중치 벡터에 대한 변형을 통해, 유한 생성된 합동의 루트가 크룰 차원 ≤1인 소수 합동의 교집합임을 증명함.
• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$에서 기하학적 소멸 집합과 대수적 루트 사이의 연결 고리를 확립하기 위해 $E_+ = \mathbf{E}(V(E))$임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 덧셈에서 아이디포텐트 성질을 갖는 반군에서 소수 합동을 어떻게 재정의할 수 있을까? 이는 가환환에서의 소수 이상과 유사한 성질을 반영해야 한다.
• RQ2 ${\mathbb{T}}$, ${\mathbb{Z}}_{\max}$ 및 ${\mathbb{B}}$ 위의 다항식 및 로렌트 다항식 반군에서 소수 합동의 구조는 어떠한가?
• RQ3 유한 생성된 합동의 루트는 크룰 차원이 낮은 몫을 갖는 소수 합동의 교집합으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ4 대수적 루트와 트로피컬 다항식의 소멸 집합을 연결하는 트로피컬 버전의 Nullstellensatz가 존재하는가?
• RQ5 뉴턴 다면체와 단항식 순서는 소수 합동의 구조와 합동의 루트에 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$, ${\mathbb{Z}}_{\max}[\mathbf{x}]$ 또는 ${\mathbb{B}}[\mathbf{x}]$에서 유한 생성된 합동의 루트는 크룰 차원이 1 이하인 몫을 갖는 모든 소수 합동의 교집합이다.
• 이 반군들에서 최소 소수 합동은 단항식 순서와 일대일 대응되며, 몫의 크룰 차원과 같은 수의 행을 갖는 정의 행렬에 의해 분류된다.
• 반군에서 모든 소수 합동의 교집합은 어떤 일반화된 비틀린 거듭제곱이 합동에 속한다는 조건으로 특징지어질 수 있다.
• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$에서 $(1,\epsilon)$을 포함하지 않는 모든 소수 합동의 교집합으로 정의된 합동 $E_+$는 $\mathbf{E}(V(E))$와 일치하며, 이는 트로피컬 Nullstellensatz를 수립함을 보여준다.
• 자명한 합동 $\Delta$에 대해 루트 $Rad(\Delta)$는 $\Delta_+$와 같으며, 이는 $(1,\epsilon)$을 포함하지 않는 모든 소수 합동의 교집합이며, 이는 같은 뉴턴 다면체를 갖는 다항식 쌍의 집합과 동치이다.
• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$에서 기하학적 합동 $\mathbf{E}(V(E))$는 $E_+$와 일치하며, 이는 이 설정에서 대수적 루트와 기하학적 루트가 일치함을 보여준다.