[논문 리뷰] Prime-Generating Polynomial

Madieyna Diouf|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 21.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 41 미만의 쌍둥이 소수 쌍에서 더 작은 소수 p에 대해 정수 n의 구간 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 내에서 소수를 생성하는 이차 다항식 $(1+2n)(p-2n)+2$를 제안한다. 이 다항식은 모든 p에 대해 연속으로 85개의 소수 값을 생성하며, 소수들이 자주 반복되므로 쌍둥이 소수의 대칭성에 기반한 새로운 소수 생성 메커니즘이다.

ABSTRACT

We present a prime-generating polynomial $(1+2n)(p -2n) + 2$ where $p>2$ is a lower member of a pair of twin primes less than $41$ and the integer $n$ is such that $\: \frac {1-p}{2} < n < p-1$.

연구 동기 및 목표

• 쌍둥이 소수의 구조적 성질을 활용한 다항식 기반 소수 수열 생성 방법을 탐색한다.
• 계수의 범위가 제한된 저차수 다항식이 장기간의 소수 수열을 생성할 수 있는지 조사한다.
• 쌍둥이 소수에서 유도된 이차 식이 오직 소수 또는 절대값으로 소수 값만을 생성하는 조건을 규명한다.

제안 방법

• p가 41 미만의 쌍둥이 소수 쌍의 더 작은 원소일 때, 정수 n에 대해 다항식 $p_n = (1+2n)(p - 2n) + 2$ 를 정의한다. 이 정의는 구간 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 내에서 이루어진다.
• 모든 유효한 n에 대해 식을 평가하고, 출력값이 음수일 수 있으나 절대값을 취하여 양수성을 확보한다. 이는 값의 크기가 소수일 수 있기 때문이다.
• 지정된 범위 내의 모든 n 값을 각각의 유효한 p에 대해 체계적으로 테스트하여 구간 전체를 포괄한다.
• 이 구성은 쌍둥이 소수에서 관찰되는 대칭성과 인자의 변환에 기반한다: 각 단계에서 한 요소는 2 증가하고 다른 요소는 2 감소한다.
• 다항식은 항등식 $p_0 = 1 \cdot p + 2$ 의 인자 조정을 반복적으로 적용하여 유도된다.
• 최종적으로 유도된 이차 형태는 $-4n^2 + 2n(p-1) + p + 2$ 로, n의 전체 범위에서 소수성에 대해 분석된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p가 41 미만의 쌍둥이 소수 쌍의 더 작은 소수일 때, 다항식 $(1+2n)(p-2n)+2$ 는 구간 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 내의 모든 n에 대해 오직 소수(또는 절대값으로 소수)를 생성하는가?
• RQ2 이 다항식은 모든 p에 대해 얼마나 많은 연속된 소수 값을 생성하는가?
• RQ3 생성된 소수들은 유일한가, 아니면 반복되는가? 반복 현상의 원인은 무엇인가?
• RQ4 이 구성 방식은 41 미만의 쌍둥이 소수를 초월하여 더 긴 소수 생성 수열을 생성할 수 있는가?
• RQ5 이 다항식이 소수를 이렇게 일관되게 생성할 수 있도록 만드는 구조적 또는 수론적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 41 미만의 쌍둥이 소수 쌍에서 $p > 2$ 이고 $p < 41$ 인 경우, 다항식 $p_n = (1+2n)(p - 2n) + 2$ 는 정수 n의 구간 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 내에서 절대값 기준으로 소수를 생성한다.
• 모든 p에 대해 생성된 소수 출력의 총 수는 85개이며, 소수들이 자주 반복되므로 값의 분포가 대칭적임을 시사한다.
• p = 3일 때, 다항식은 n = 0, 1에서 5, 5를 생성하며, n의 범위는 -1에서 1까지 이며, 두 개의 서로 다른 소수를 생성한다.
• p = 5일 때, 다항식은 n = -1에서 3까지 6개의 소수 값(5, 7, 11, 7, 5)을 생성하며, n의 범위는 (-2, 4)이며, 5개의 서로 다른 소수를 생성한다.
• p = 11일 때, 다항식은 n = -5에서 9까지 15개의 소수 값을 생성하며, 출력값은 n = 2를 중심으로 대칭되며, 11에서 131까지의 소수를 생성한다.
• p = 29일 때, 다항식은 n = -14에서 27까지 42개의 소수 값을 생성하며, 출력값은 대칭적이며 1373와 1217와 같은 큰 소수를 포함하여, 테스트된 모든 p 중 가장 긴 수열임을 확인한다.