[논문 리뷰] Prime II$_1$ factors arising from irreducible lattices in products of rank one simple Lie groups

Daniel Drimbe, Daniel J. Hoff외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 07.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 측도 동치와 변형/강성 기법을 활용하여, 유한 중심을 가진 연결 비콤팩트 랭크 1 단순 리 군의 곱에서의 icc 무비판 래티스 Γ에 대해 그 군 von Neumann 대수 L(Γ)가 소임을 증명함으로써, 높은 랭크 단순 리 군에서의 래티스로부터 유도되는 최초의 소 II₁ 요인들을 제공한다. 이 결과는 이전에 랭크 1 군(예: 자유군 또는 SL₂(ℝ))로 국한되었던 소성 결과를 높은 랭크 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We prove that if $Γ$ is an icc irreducible lattice in a product of connected non-compact rank one simple Lie groups with finite center, then the II$_1$ factor $L(Γ)$ is prime. In particular, we deduce that the II$_1$ factors associated to the arithmetic groups $ ext{PSL}_2(\mathbb Z[\sqrt{d}])$ and $ ext{PSL}_2(\mathbb Z[S^{-1}])$ are prime, for any square-free integer $d\geq 2$ with $d ot\equiv 1 mod{4}$ and any finite non-empty set of primes $S$. This provides the first examples of prime II$_1$ factors arising from lattices in higher rank semisimple Lie groups. More generally, we describe all tensor product decompositions of $L(Γ)$ for icc countable groups $Γ$ that are measure equivalent to a product of non-elementary hyperbolic groups. In particular, we show that $L(Γ)$ is prime, unless $Γ$ is a product of infinite groups, in which case we prove a unique prime factorization result for $L(Γ)$.

연구 동기 및 목표

• 높은 랭크 단순 리 군에서의 래티스로부터 유도되는 II₁ 요인이 소가 될 수 있는지 여부에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 이전에 자유군이나 SL₂(ℝ)와 같은 랭크 1 군으로 국한되었던 소성 결과를 높은 랭크 래티스로 확장하기 위해.
• Γ가 비원소적 하이퍼볼릭 군의 곱과 측도 동치일 경우 L(Γ)에 대한 유일한 소 인수분해 정리를 수립하기 위해.
• 분리 가능하고 소인 II₁ 요인의 최초의 예를 높은 랭크 리 군에서의 래티스로부터 제공하기 위해, 예를 들어 PSL₂(ℤ[√d])와 PSL₂(ℤ[S⁻¹])와 같은 군들.
• 이러한 군에 대해 L(Γ)의 모든 텐서 곱 분해를 특성화하여, Γ가 무한군의 곱이 아닌 한 소성이 성립함을 보여주기 위해.

제안 방법

• Γ를 비원소적 하이퍼볼릭 군의 곱과 측도 동치로 연결함으로써 강성 기법의 적용을 가능하게 하는 측도 동치의 사용.
• 변형/강성 이론과 닫히는 도함수를 활용하여 L(Γ)의 구조, 특히 상대적 중심의 분석.
• 측도 공간 위의 군 작용의 맥락에서 약한 포함과 강한 점근적 수직성의 개념을 활용.
• 환경 군 G에 비자명한 정규 컴acts부분군이 존재할 경우 무비판성에 위배되므로, 이를 배제하기 위해 귀류법을 사용.
• 유니터리 쌍대변환과 확대를 활용하여 L(Γ)의 텐서 곱 분해를 분류함으로써, 임의의 분해는 반드시 군의 곱 분해에서 유도됨을 보임.
• 곱 분해에서 각 요소 Γ_i에 대해 L(Γ_i)가 소임을 이용하여 인수분해의 유일성을 확립함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높은 랭크 단순 리 군에서의 래티스로부터 유도되는 II₁ 요인이 소가 될 수 있는가?
• RQ2 비원소적 하이퍼볼릭 군의 곱과 측도 동치인 icc 군 Γ에 대해 L(Γ)의 가능한 텐서 곱 분해는 무엇인가?
• RQ3 Γ가 랭크 1 리 군의 곱에서의 무비판 래티스일 경우 L(Γ)에 대해 유일한 소 인수분해가 존재하는가?
• RQ4 산술 군들, 예를 들어 PSL₂(ℤ[√d])와 PSL₂(ℤ[S⁻¹])는 소 II₁ 요인을 유도하는가?
• RQ5 비자명한 텐서 곱 분해의 존재가 군 Γ에 어떤 구조적 제약을 가하는가?

주요 결과

• 모든 연결 비콤팩트 랭크 1 단순 리 군의 곱에서 유한 중심을 가진 icc 무비판 래티스 Γ에 대해 II₁ 요인 L(Γ)는 소이다.
• 산술 군 PSL₂(ℤ[√d])와 PSL₂(ℤ[S⁻¹])는 모든 제곱-free인 d ≥ 2이고 d ≢ 1 (mod 4이며, 모든 유한 비공집합 소수 집합 S에 대해 소 II₁ 요인을 유도함이 입증되었다.
• 모든 Γ ∈ ℒ에 대해 II₁ 요인 L(Γ)는 소이며, 이는 새로운 넓은 범주를 제공한다.
• Γ가 무한군의 곱일 경우, L(Γ)는 각각 소인 L(Γ_i)로 유일한 소 인수분해를 갖는다.
• L(Γ)의 임의의 텐서 곱 분해는 유니터리 쌍대변환과 확대를 제외하고는 항상 군의 곱 분해 Γ = Σ₁ × Σ₂에서 유도된다.
• 분해의 유일성은 L(Γ) = P₁ ⊗̄ ⋯ ⊗̄ Pₘ일 경우 각 P_j가 L(Γ_i)들의 텐서 곱과 유니터리 쌍대변환으로 표현되며, 각 P_j가 소일 경우 m = k이며, 분해는 순열과 유니터리 쌍대변환를 제외하고 유일하다는 것을 의미한다.