[논문 리뷰] Prime Labeling of Ladders

Ebrahim Ghorbani, Sara Kamali|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 27.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 루프 그래프—경로 그래프와 두 정점으로 구성된 경로의 카르테시안 곱으로 정의되는 그래프—가 소수 레이블링을 갖는다는 것을 증명하며 오랫동안 남아있던 추측을 확인한다. 저자들은 산술 등차수열과 모듈로 조건을 사용하여 인접한 정점 쌍이 서로소임을 보장하는 레이블링을 구성하고, 각 루프의 정사각형에서 교차 조건을 만족시키기 위해 특수 정수를 체계적으로 삽입한다.

ABSTRACT

A prime labeling of a graph with $n$ vertices is a labeling of its vertices with distinct integers from $\{1, 2,\ldots , n\}$ in such a way that the labels of any two adjacent vertices are relatively prime. T. Varkey conjectured that ladder graphs have a prime labeling. We prove this conjecture.

연구 동기 및 목표

• 모든 루프 그래프가 소수 레이블링을 갖는다는 추측을 해결하는 것, 즉 인접한 정점이 서로소 정수로 레이블링되는 것.
• 수학적 트리와 기타 알려진 그래프 클래스를 넘어서 루프 그래프까지 소수 레이블링의 이해를 확장하는 것.
• 임의의 크기의 루프 그래프에 대해 소수 레이블링을 생성하는 구축 방법을 제공하는 것.
• 모든 2×n 격자(루프)가 인접한 정점 쌍이 서로소 레이블을 갖도록 레이블링될 수 있음을 검증하는 것.
• 루프의 각 2×2 부분격자에서 교차 조건이 만족되도록 보장하는 일반적인 레이블링 체계 수립

제안 방법

• 산술 등차수열에서의 서로소 성질을 활용하기 위해 루프 정점의 기본 레이블로 $ a_k = 6k - 3 $ 및 $ b_k = 6k - 1 $ 를 정의한다.
• 5와 7을 포함한 모듈로 조건을 사용하여 특수 정수 $ c_\rho = a_\rho - 2 $ 와 $ 6\ell + 1 $ 를 식별하고, 기존 레이블 사이에 삽입하여 서로소성을 유지한다.
• 모듈로 조건에 따라 $ a_\ell $ 와 $ a_{\ell+1} $ 또는 $ b_\ell $ 와 $ b_{\ell+1} $ 사이에 $ c_\ell $ 와 $ 6\ell + 1 $ 을 삽입하여 교차 조건을 만족시킨다.
• 삽입된 레이블이 이웃 정점과 여전히 서로소임을 확인하기 위해 항등식 $ \gcd(u,v) = \gcd(u, v + uh) $ 를 적용한다.
• 초기 정사각형의 교차 조건을 확보하기 위해 $ a_1 $ 와 $ b_1 $ 사이에 수 7을 삽입한다.
• 마지막으로, 1이 모든 정수와 서로소이므로 두 정점 사이에 레이블 1을 삽입하여 레이블링을 완료한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 루프 그래프가 인접한 정점이 서로소 레이블을 갖는 소수 레이블링을 갖는가?
• RQ2 루프의 각 2×2 부분격자에서 교차 조건이 만족되도록 체계적인 레이블링 구성이 가능한가?
• RQ3 기존 레이블 사이에 삽입할 수 있는 정수의 모듈로 조건은 무엇이며, 서로소성을 해치지 않도록 보장할 수 있는가?
• RQ4 산술 등차수열과 수론적 조건을 사용하여 큰 $ n $ 을 포함한 모든 루프 크기로 레이블링을 어떻게 연장할 수 있는가?
• RQ5 특정 정수를 전략적으로 삽입하여 기본 레이블링을 수정함으로써 루프에 대해 소수 레이블링을 구성하는 것이 가능한가?

주요 결과

• 논문은 모든 루프 그래프가 소수 레이블링을 갖는다는 것을 확인함으로써, Varkey 등이 제기한 추측을 증명한다.
• 모든 2×2 정사각형에서 교차 조건이 만족되는 레이블링 체계가 구성되었으며, 이는 대각선으로 대응하는 정점 쌍이 모두 서로소임을 의미한다.
• 구성은 $ a_k = 6k - 3 $, $ b_k = 6k - 1 $ 의 형태를 가진 정수와 5 및 7에 대한 모듈로 조건에 기반한 특수 삽입인 $ c_\ell = a_\ell - 2 $ 와 $ 6\ell + 1 $ 을 사용한다.
• 정수 집합 $ C $ 는 $ n \geq 73 $ 일 때에만 비어 있지 않으며, 이러한 정수들은 모듈로 조건을 만족할 경우에만 삽입되어 서로소성을 유지한다.
• 초기 정사각형을 수정하기 위해 $ a_1 $ 와 $ b_1 $ 사이에 수 7이 삽입되었고, 레이블링을 완료하기 위해 마지막에 레이블 1이 삽입되었다.
• 이 방법은 최종 레이블링된 루프에서 모든 인접한 정점 쌍이 서로소임을 보장하므로, 유효한 소수 레이블링을 달성한다.