[논문 리뷰] Prime numbers with Beatty sequences

William D. Banks, Igor E. Shparlinski|ArXiv.org|2007. 08. 07.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ \alpha $ 가 유한한 유형의 양의 무리수이고 $ q $ 가 $ N $ 의 거듭제곱으로 증가할 때, $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 형태의 일반화된 베키 시퀀스에서 소수의 수에 대한 渐近 공식을 수립한다. 지수 합 추정과 불일치 한계를 사용하여, 이 수가 $ \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $ 에 비례하는 것으로 증명하며, 이는 이전 결과를 더 큰 모듈러스로 확장하고, $ 2\lfloor \alpha n \rfloor + 1 $ 형태의 소수에 대한 롱의 추측의 개선된 형태를 확인한다. 주요 기여는 $ \alpha $ 가 딜로판트 조건을 만족할 경우, $ q $ 가 $ N $ 에 대해 다항식적으로 증가하더라도 비잔영 오차 항을 확보하는 것이다.

ABSTRACT

A study of certain Hamiltonian systems has lead Y. Long to conjecture the existence of infinitely many primes of the form $p=2[αn]+1$, where $10$ depends only on $α$. We also prove a similar result for primes $p=[αn+β]$ such that $p\equiv a\pmod q$.

연구 동기 및 목표

• 형태 $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 의 소수 수에 대한 균일한 渐近 추정을 수립하기 위해, $ \alpha $ 가 유한한 유형의 무리수이고 $ q $ 가 $ N $ 과 함께 증가할 때.
• 디오판틴 조건을 만족하는 $ \alpha $ 를 바탕으로, 리벤보임의 베키 시퀀스에서 소수에 대한 추론을 일반화하여 $ q $ 가 $ N $ 의 거듭제곱으로 증가하도록 허용하기 위해.
• 특히 $ (a,q) = (0,1) $ 과 $ (1,2) $ 인 경우, 즉 롱의 추측에 해당하는, 이러한 소수의 산술적 등차수열에서의 분포를 분석하기 위해.
• 지수 합 방법과 불일치 한계를 사용하여, $ q $ 가 $ N $ 에 대해 다항식적으로 증가하더라도 소수 세기 함수의 비잔영 오차 항을 도출하기 위해.
• 베키 시퀀스 자체가 고정된 산술적 등차수열 모듈로 $ q $ 에 속해야 할 경우에도 결과를 확장하여, 유사한 渐近 공식을 증명하기 위해.

제안 방법

• 소수의 분포를 분석하기 위해, 바이어트 만골트 함수 $ \Lambda(n) $ 를 포함한 지수 합 추정을 사용하기 위해.
• 무리수 $ \gamma $ 에 대해 분수 부분 $ \{ \gamma m \} $ 의 불일치 한계를 적용하여, 특히 $ \alpha $ 의 유한한 유형 조건을 활용해 오차 항을 제어하기 위해.
• 구간의 특성 함수를 근사하기 위해, 매끄러운 삼각 다항식을 사용한 항등식 $ \psi_{\Delta}(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} g_k e^{2\pi i k x} $ 을 사용하기 위해.
• 소수의 등차수열에 대한 합을 추정하기 위해 부분 합과 시겔–월파이츠 정리를 사용하기 위해, 특히 작은 $ q $ 의 경우.
• 특수한 경우, 예를 들어 $ (a,q) = (0,1) $ 또는 $ (1,2) $ 에서 더 강력한 오차 항을 확보하기 위해, 코로보프–비노그라드프 제로-자리 영역 한계를 적용하기 위해.
• 모든 $ \alpha > 0 $ 에 대해 일관성을 확보하기 위해, $ \alpha < 1 $ 인 경우를 $ \alpha > 1 $ 인 경우로 줄이기 위해 $ t = \lceil \alpha^{-1} \rceil $ 을 통한 변환을 사용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무리수 $ \alpha $ 가 유한한 유형일 때, $ q $ 가 $ N $ 과 함께 증가하는 경우, $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 형태의 소수 수를 渐近적으로 추정할 수 있는가?
• RQ2 모듈로 $ q $ 에서 이러한 소수의 渐近 밀도가 $ q $ 가 $ N $ 의 거듭제곱으로 증가하더라도 여전히 $ \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $ 에 비례하는가?
• RQ3 이러한 소수의 수에 대한 渐近 공식에서 가장 좋은 오차 항은 무엇이며, 이는 $ \alpha $ 의 딜로판트 성질에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 유사한 방법을 사용하여 $ p = \lfloor \alpha n + \beta \rfloor $ 이면서 $ p \equiv a \pmod{q} $ 를 만족하는 소수를 세는 데 적용할 수 있으며, 그 결과로 얻어지는 渐近 공식은 무엇인가?
• RQ5 모듈로 $ q $ 가 증가할 수 있도록 허용할 경우, 소수 세기 함수의 오차 항은 어떻게 행동하며, 리만 제타 함수의 깊은 제로-자리 영역을 사용하여 이를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 유형의 양의 무리수 $ \alpha > 0 $ 에 대해, $ \kappa > 0 $ 이 존재하여, $ n \leq N $ 이고 $ 0 \leq a < q \leq N^\kappa $, $ \gcd(a,q) = 1 $ 인 조건에서, $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 형태의 소수 수 $ \mathcal{N}_{\alpha,\beta;q,a}(N) $ 는 $ (1 + o(1)) \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $ 를 만족하며, $ o(1) $ 항은 오직 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 에만 의존한다.
• 고정된 $ B > 0 $ 에 대해 $ q \leq (\log N)^B $ 이면, 합 $ \sum_{n \leq N} \Lambda(q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a) $ 의 오차 항은 $ O\left( N \exp(-C\sqrt{\log N}) \right) $ 이며, $ C > 0 $ 는 $ \alpha, \beta, B $ 에 따라 달라진다.
• $ (a,q) = (0,1) $ 또는 $ (1,2) $ 의 특수한 경우, 오차 항은 $ O\left( N \exp(-c(\log N)^{3/5}(\log\log N)^{-1/5}) \right) $ 로 향상되며, 이는 소수 정리에서 알려진 최고의 오차와 일치한다.
• 비슷한 渐近 공식이 $ \lfloor \alpha n + \beta \rfloor \equiv a \pmod{q} $ 이고 소수일 경우의 $ n \leq N $ 수에 대해서도 성립한다: $ \sum_{\substack{n \leq N \\ \lfloor \alpha n + \beta \rfloor \equiv a \pmod{q}}} \Lambda(\lfloor \alpha n + \beta \rfloor) = \alpha^{-1} \sum_{\substack{m \leq \lfloor \alpha N + \beta \rfloor \\ m \equiv a \pmod{q}}} \Lambda(m) + O(N^{1-\kappa}) $, 여기서 $ \kappa > 0 $ 은 오직 $ \alpha $ 에만 의존한다.
• 위 공식의 오차 항은 $ q \leq (\log N)^B $ 이면 $ O(N \exp(-C\sqrt{\log N})) $ 이며, $ (a,q) = (0,1) $ 또는 $ (1,2) $ 이면 $ O(N \exp(-c(\log N)^{3/5}(\log\log N)^{-1/5})) $ 이다.
• 결과는 $ a $ 와 $ q $ 에 대해 균일하며, 암시된 상수는 $ q \leq N^\kappa $ 라면 오직 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 에만 의존한다.